Родословная формулы

Р. САФАРОВ (Институт истории АН Таджикистана)

Счет и простейшие арифметические действия, выполнимые лишь с целыми числами, были освоены еще в доисторические времена. Операции с рациональными числами были досконально изучены к античной эпохе – их систематически излагает в своих «Началах» Эвклид. Но иррациональных чисел античные математики не знали. Потому-то они и считали, например, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной: ведь их отношение выражается «незаконным» иррациональным числом 2. Не имея общей числовой меры, оба отрезка существовали тем не менее как геометрические объекты. И это подсказывало выход из затруднительного положения: заменить исследование чисел исследованием фигур. Тот же Эвклид все действия над рациональными числами описывает на «геометрическом» языке: сложение чисел объясняет как сложение отрезков, а их произведение выражает площадью прямых прямоугольника со сторонами, равными данным отрезкам.

Так возникла так называемая геометрическая алгебра. Она позволила обойти немало каверзных вопросов, но оперировать ею было нелегко. Для тех действий, которые сегодняшний школьник выполняет с помощью формул в виде короткой выкладки, порой приходилось подыскивать геометрические аналогии, требовавшие изощренной изобретательности. Разбирая древние математические трактаты, нередко изумляешься искусному пространственному воображению тогдашних исследователей. Вот один из примеров такого искусства, почерпнутый из математического наследия мусульманского Востока, перенявшего эстафету научной мысли от древней Эллады в ту пору, когда христианство отвергало античную культуру, как языческую.

Речь пойдет про «Книгу об измерении шаров шарами», принадлежащую перу Абу Сайда ас-Сиджизи. Содержащая ряд весьма неожиданных результатов, она лишь недавно впервые была переведена на русский язык автором этой статьи совместно с профессором Б.А. Розенфельдом.

Абу Саид Ахмад ибн Мухаммад ибн Абдалджапип ас-Сиджизи (приблизительные даты жизни: 950...1025) родился в Сиджистане (историческая область, включавшая районы современных Ирана и Афганистана). Биографические сведения о нем крайне скудны. Известно, что он работал в Ширазе, одном из крупнейших научных центров Ирана, при эмире Адуд ад-Даула Фана Хосрау (949...983) и его преемниках, был знаменит, в частности как выдающийся конструктор научных приборов.

«Я видел у Абу Сайда ас-Сиджизи, – писал ал-Беруни, – астролябию простого вида, не составленную из северной и южной, называемую им челнообразной. Я нашел, что она является прекрасным изобретением, основанным на твердом принципе, следующем из убеждения некоторых людей в том, что упорядоченное движение Вселенной принадлежит Земле, а не небесной сфере».

Математические работы (общим счетом 34) занимают наиболее видное место в научном творчестве ас-Сиджизи. Одна из первых таких его работ относится к 970 году. В ту пору 20-летний ученый составляет сборник математических и астрономических трактатов, в настоящее время хранящийся в Парижской Национальной библиотеке (№ arabe 2457). В конце этого сборника он и помещает свое сочинение «Книга об измерении шаров шарами» (трактат №46).

Замечательную идею высказывает автор «Книги» во втором предложении своего сочинения. Приведем его полностью.

«Всякий шар, на диаметре которого построены два касающиеся шара, касающиеся также большого шара, таков, что избыток большого шара над малыми шарами равен шару, диаметр которого – ребро куба, равного трем равным телам, каждое из которых охватывается диаметром большого шара и диаметрами малых шаров. Пример этого. Предположим шар – АВ, его диаметр АВ, а на нем шары АС и СВ. Я утверждаю, что избыток шара АВ над шарами АС и СВ, то есть DD, равен шару, диаметр которого равен ребру куба, равного трем телам, каждое из которых охватывается линией АВ и линиями АС и СВ.

Рис. 1. Геометрическая интерпретация открытой ас-Сиджизи формулы для куба суммы двух величин в виде конструкции из шаров (слева) и кубов (справа)

Доказательство этого. Представим себе куб AG, ребро которого равно диаметру АВ, и отложим на его ребре отрезок АН, равный АС; тогда HF равна CB. Потому куб АЕ относится к кубу EG, как шар АС к шару СВ, а избыток куба AG над кубами АЕ и EG относится к кубам АС и СВ, как избыток шара АВ над шарами АС и СВ к шарам АС и СВ.

Но избыток куба AG над кубами АЕ и EG – это тела CD, HK и LB, каждое из которых охватывается линиями AF, HF и АН.

Тем самым доказано, что шар, находящийся на ребре куба, равного трем телам CD, равен телу DD. Это и есть то, что мы хотели доказать».

(К сожалению, по вине переписчика в дошедшем до нас экземпляре трактата чертеж ученого приведен в искаженном виде – см. рис. 1.)

Если обозначить диаметр шара АВ через х + у, диаметр шара АС через у и диаметр шара СВ через х, то утверждение ас-Сиджизи сводится к алгебраическому соотношению

(х + у)³ – (х³ + у³) = 3ху(х + у),

которое равносильно известной формуле куба суммы двух чисел

(х + у)³ = х³ + 3x²у + 3ху² + у³.

Рис. 2. Разложение куба с ребром (х + у) на пять тел, придающее предельную очевидность формуле для куба суммы двух величин (слева). Неверная иллюстрация к рассуждениям ас-Сиджизи, сделанная невнимательным переписчиком его трактата (справа)

В наши дни такое равенство кажется элементарным даже школьнику. Но вывести его исключительно геометрическим путем, как видно, дело вовсе не элементарное. Учитывая это, мы сможем по достоинству оценить уровень достижений математиков прошлого, давших нам основные формулы алгебры.

Заметим, что среди европейских математиков первым формулу для куба суммы двух чисел вывел немецкий математик, уроженец Чехии К. Рудольф, живший в первой половине XVI века. Для этой цели он делил куб на восемь частей. В сравнении с его построением подход ас-Сиджизи выглядит изящнее. Более того: разбиение куба, произведенное К. Рудольфом, было известно его восточному предшественнику – оно изложено в третьем предложении «Книги об измерении шаров шарами».

Развитие геометрической алгебры сильно сдерживалось тем, что наглядные аналогии она могла черпать лишь в двумерном и трехмерном пространствах. Немалая интуиция требовалась, чтобы «заглянуть» в пространства с большим числом измерений. В этом отношении чрезвычайно интересно 11-ое предложение трактата ас-Сиджизи. Здесь снова рассматривается разность между двумя шарами, один из которых касается другого изнутри. При этом отношение их диаметров равно 5, а отношение самих этих шаров, как пишет ас-Сиджизи, равно 25.

Далее ученый указывает, что отношение квадратов, построенных на диаметрах шаров, равно 5, а отноше ние шаров является «двойным отношением» (то есть второй степенью отношения) этих квадратов. Такое рассуждение означает, что ас-Сиджизи рассматривает не трехмерные, а четырехмерные шары. (Это заметил первым научный сотрудник Института истории естествознания и техники АН СССР Е.И. Славутин.)

Таким образом, ас-Сиджизи задумывался над четырехмерным аналогом формулы, приведенной им во втором предложении его трактата, – иными словами, над разложением бинома (х + у)⁴. Однако довести до конца свою идею он не смог.

Следует отметить, что мысли, равносильные идее многомерного куба, имелись в «Книге духовных искусных приемов и природных тайн о тонкостях геометрических фигур» Абу Насра ал-Фараби, которая могла быть знакома ас-Сиджизи.

Ранее опубликовано:

Наука и жизнь. 1992. №2.

Дата публикации:

16 ноября 2002 года