Задача 2. Солнце зайдет не там

Пётр Маковецкий. Смотри в корень! Сборник любопытных задач и вопросов

А.

Сегодня Солнце взошло точно на востоке. В какой точке оно зайдет?

Б.

Обычно рассуждают так. Если Солнце взошло точно на востоке, то, очевидно, сегодня равноденствие – день равен ночи. Следовательно, Солнце зайдет точно на западе. Это неверно. Равноденствие – это событие, которое длится не весь сегодняшний день, а только мгновение.

В.

Момент равноденствия – момент, когда Солнце, двигаясь по эклиптике, пересекает небесный экватор. Если при этом оно переходит из южного полушария в северное, то для нас, живущих в северном полушарии, это момент весеннего равноденствия, если из северного в южное – осеннего. Восток – точка, где пересекаются линии горизонта и небесного экватора. Если Солнце взошло точно на востоке, то, значит, в этот момент оно было и на небесном экваторе. А поскольку оно всегда находится на эклиптике, то, следовательно, в этот момент оно было в точке пересечения экватора и эклиптики, т.е. в точке равноденствия. Иными словами, момент равноденствия совпал с моментом восхода. Пусть это было весеннее равноденствие. Тогда к вечеру Солнце успеет подняться над небесным экватором (уйти по эклиптике от точки равноденствия) на заметную величину. Следовательно, оно уже зайдет не на западе, а севернее запада. Осенью Солнце, взошедшее точно на востоке, зайдет южнее запада. В первом случае день оказался длиннее 12 часов, во втором – короче.

Подсчитаем, насколько севернее или южнее запада зайдет Солнце.

Земная ось наклонена к плоскости орбиты Земли на 23,5°. Поэтому в день летнего солнцестояния Солнце оказывается на 23,5° выше небесного экватора, в день зимнего солнцестояния – на столько же ниже экватора. В остальные дни угловое расстояние α между Солнцем и небесным экватором меняется приблизительно по синусоидальному закону (если пренебречь некоторыми тонкостями сферической тригонометрии и неравномерностью движения Земли по орбите):

α = 23,5° sin (2π t / T).

где T ≈ 365 суток (1 год).

Очевидно, при такой записи за начало координат надо принять момент весеннего равноденствия: именно он дает α = 0 при t = 0 и α > 0 при t > 0.

От восхода до захода пройдет приблизительно 0,5 суток. За это время Солнце поднимется над небесным экватором на угол

α = 23,5° sin (2π·0,5 / 365) ≈ 0,2°.

Если мы находимся на экваторе (земном), где небесный экватор проходит через точки восток – зенит – запад, то Солнце, взошедшее точно на востоке, пойдет почти вертикально к зениту, пройдет севернее него на 0,1° (за 6 часов оно сместится к северу от экватора на 0,1°) и зайдет почти вертикально севернее запада на 0,2°.

На широте Ленинграда (автор часто будет использовать эту широту не только потому, что он ленинградец, но главным образом потому, что она равна 60°, а cos 60° = 0,5, что удобно для вычислений) небесный экватор проходит под углом 30° к горизонту, и приблизительно под таким пологим углом Солнце в этот день будет восходить и заходить.

На рис. 2 показаны горизонт с точкой запада W, небесный экватор, путь Солнца CAB (почти параллельный экватору), успевшего за день подняться над экватором на α = 0,2°. Точку В, в которой Солнце зайдет, можно найти из треугольника WAB. Правда, этот треугольник не плоский, а сферический: он расположен на небесной сфере. Но поскольку он мал, то мы не допустим большой ошибки, если будем считать его плоским. Искомый сдвиг точки захода В относительно точки запада W равен

WB = WA / cos 60° = 0,2° / 0,5 = 0,4°.

Если вспомнить, что угловой диаметр Солнца приблизительно равен 0,5°, то получаем, что точка захода сместилась почти на диаметр Солнца.

Рис. 2.

Для тех, кому эта величина покажется недостойной внимания, предлагаем повторить расчет для широты 88°. Там Солнце, взошедшее весной точно на востоке, зайдет почти на 6° севернее запада!

Иногда проницательный читатель по поводу этой задачи делает весьма интересное замечание: момент перехода Солнца через небесный экватор и момент восхода Солнца теоретически мгновенны. Поэтому абсолютно точно совпасть они практически не могут. Следовательно, Солнце никогда не может взойти точно на востоке: если сегодня оно взошло чуть-чуть южнее востока, то завтра оно взойдет чуть-чуть севернее. Действительно, для данного места вероятность абсолютно точного совпадения бесконечно мала. Но ведь на Земле в любой момент имеется такая точка, где Солнце как раз в этот момент восходит. Значит, где-то оно восходит и точно в момент равноденствия. Такая точка на Земле не одна – это целая линия, некоторый вполне определенный меридиан*. Будем считать, что мы находимся именно на этом меридиане.

* Меридиан – в момент равноденствия. А вообще граница ночи и дня наклонена к меридианам (см. рис. 9).

• Задача 3. Несерьезный вопрос

• Оглавление

Дата публикации:

18 июня 2002 года