Задача 11. Разногласия на меридиане

Пётр Маковецкий. Смотри в корень! Сборник любопытных задач и вопросов

А.

Витебск и Ленинград – на одном меридиане, Пулковском, поэтому самый темный момент ночи в этих городах наступает одновременно – будем для простоты считать, что ровно в час ночи по московскому времени. А когда он наступит для пассажира, едущего июньской ночью из Витебска в Ленинград? А для пассажира, едущего обратно?

Будем считать, что вся дорога идет строго по Пулковскому меридиану.

Б.

– Что за ерунда! Ну, конечно, тоже в час ночи! Ведь все станции, через которые проходит поезд, лежат тоже на Пулковском меридиане. Значит, на каждой из этих станций самое темное время ночи наступает в тот же момент, что и в Витебске и в Ленинграде. Какое же имеет значение, едет ли пассажир через Невель, или через Локню, или сидит всю ночь на станции Дно?

В этом весьма убедительном на первый взгляд монологе верно только то, что если пассажир всю ночь сидит на станции Дно, то он действительно самую глубокую темноту ночи встретит одновременно с жителями Ленинграда и Витебска. Иными словами, самый глубокий мрак наступит одновременно для пассажиров, сидящих на всех станциях, и в другое время – для едущих. Разобраться в этом вам будет легко, если вы вспомните, что в самое темное время июньской ночи в Ленинграде светлее, чем в Витебске.

В.

Давайте представим, что Земля, чтобы нам легче было решать задачу, прекратила свое суточное вращение и движение вокруг Солнца как раз в момент, когда на всем Пулковском меридиане наступила полночь. Сядем в Витебске на поезд и поедем в Ленинград, а по пути будем интервьюировать пассажиров, сидящих на станциях. Все они единодушно заявят нам, что сейчас самое темное время суток. Между тем наши собственные наблюдения показывают, что на протяжении всей дороги рассветает: ведь мы едем в Ленинград – город белых ночей. Итак, у сидящих самое темное время суток – сейчас, а у едущих – уже позади.

Не будем более задерживать Землю, пусть она вращается. Теперь, очевидно, на глубину мрака будут влиять оба обстоятельства одновременно: и вращение Земли, и движение поезда. Глубина мрака (или, лучше, освещенность) в том месте, где вы находитесь в данный момент, определяется тем, насколько глубоко для вас Солнце находится под горизонтом. На рис. 8 кривая AFBC показывает поведение Солнца ночью под горизонтом AC для Витебска. Солнце закатилось в точке A в момент t₁; самое темное время ночи t₂ соответствует самому глубокому положению B Солнца под горизонтом; взойдет Солнце в момент t₃ в точке C. Кривая A'B'C' показывает поведение Солнца в Ленинграде. Солнце там заходит позже (t₁' > t₁) и восходит раньше (t₃' < t₃), но самый темный момент t₂ тот же, что и в Витебске. Ленинград севернее Витебска на 5°, поэтому максимальная глубина погружения Солнца под горизонт в Ленинграде на 5° (на отрезок BB') меньше*.

* Здесь не учитывается, что на «видимое» положение Солнца оказывает влияние атмосферная рефракция даже в случае, когда светило находится под горизонтом. Это нельзя оценить непосредственно, так как Солнце не видно, но можно сделать косвенно – по яркости зари, вычисленной для отсутствия рефракции и измеренной при наличии последней.

Рис. 8.

Движение поезда на север вызывает постепенное уменьшение глубины Солнца под горизонтом. Если мы тронулись в путь из Витебска в момент заката t₁ ехали безостановочно и прибыли в Ленинград в момент восхода Солнца в Ленинграде t₃', то вызванная нашим движением поправка в положении Солнца описывается кривой (почти прямой) DE. Складывая ординаты кривых ABC и DE, мы получаем кривую AGC', показывающую поведение Солнца для движущегося наблюдателя. Теперь момент t₂ – не самый темный: хотя кривая ABC в точке B имеет минимум и идет горизонтально, но нарастающая поправка DE, налагаясь на горизонтальный участок кривой ABC, приводит к нарастанию результирующей кривой AGC' в окрестностях момента t₂. Это значит, что в момент t₂ для движущегося наблюдателя ночь светлеет. Самое темное время для него было раньше, в момент t₂', соответствующий минимуму кривой AGC'. В минимуме кривая AGC' идет горизонтально. Это значит, что здесь снижение Солнца, вызванное вращением Земли, компенсируется подъемом Солнца, вызванным движением на север. Таким образом, момент минимума t₂' можно найти как момент, когда наклон кривой ABC равен наклону кривой DE по величине и противоположен ему по направлению. Касательная MN к кривой AFBC' в точке F (момент t₂') имеет именно такой наклон.

Чем быстрее движется поезд, тем круче идет кривая поправок DE, тем левее на кривой ABC находится точка, в которой крутизна кривой равна по величине и обратна по знаку крутизне кривой поправок, т.е. тем раньше наступит самое темное время. Рассчитаем хотя бы приблизительно, когда оно наступит, приняв за исходные следующие округленные данные для Ленинграда и Витебска, соответственно:

t₁' = 22 ч 00 мин, t₂ = 01 ч 00 мин, t₃' = 04 ч 00 мин;

t₁ = 21 ч 30 мин, t₂ = 01 ч 00 мин, t₃ = 04 ч 30 мин.

Как видно из рис. 8, в Ленинграде ночь длится T_Л = t₃' – t₁' = 6 ч 00 мин, в Витебске – T_В = t₃ – t₁ = 7 ч 00 мин. Ночь для пассажиров поезда, вышедшего из Витебска в момент заката t₁ и прибывшего в Ленинград в момент восхода t₃', начинается вместе с витебской ночью и кончается вместе с ленинградской. Она оказывается сдвинутой влево на графике и имеет продолжительность T_П = t₃' – t₁ = 6 ч 30 мин. Середина этой «поездной» ночи сдвинута на опережение на 15 минут относительно середины «станционных» ночей. Для пассажиров, едущих из Ленинграда в Витебск, кривая поправок будет иметь противоположный наклон, отчего середина «поездной» ночи сдвинется на запоздание.

Надеюсь, однако, никому из читателей не пришла в голову мысль, что пассажиру поезда Витебск – Ленинград надо перевести в какую-либо сторону стрелки часов!

• Задача 12. На стадионе стемнело

• Оглавление

Дата публикации:

28 сентября 2002 года