Задача 26. Дело помощи утопающим – дело рук самих утопающих

Пётр Маковецкий. Смотри в корень! Сборник любопытных задач и вопросов

А.

В научно-фантастическом рассказе Артура Кларка «Сделайте глубокий вдох» события происходят на большом стационарном искусственном спутнике Земли. Обслуживающий персонал живет там многие месяцы, поэтому для удобства людей создана искусственная тяжесть за счет центробежных сил, вызванных медленным вращением спутника-колеса. По окружности колеса к спутнику прикреплены каюты, в которых сотрудники отдыхают.

И вот однажды двое отдыхающих проснулись от пронзительного свиста: воздух через микроскопическую пробоину уходил из каюты. Выглянув в иллюминатор, потерпевшие увидели, что каюта оторвалась, отброшена центробежной силой и продолжает удаляться от спутника.

– Прежде чем нас найдут и отбуксируют к станции, мы будем мертвы, – это мрачное высказывание одного из потерпевших имеет под собой солидное основание: двигатели у каюты не предусмотрены, пробоину заделать невозможно, радиосвязи нет.

Вам предлагается выпутаться из этого положения. Только без паники!

Б.

В рассказе все заканчивается благополучно: посланный за потерпевшими корабль находит их, догоняет и берет к себе на борт. Соль рассказа состоит в том, что спасатели с помощью сварочного аппарата прорезают в каюте люк, через который потерпевшие молниеносно прыгают в шлюз спасательного корабля, причем прыгают, как сами понимаете, через космический вакуум (что при отсутствий скафандров скорее фантастично, чем научно). Сами потерпевшие полностью пассивны вплоть до решительного прыжка, составляющего кульминацию рассказа.

Для вас этот путь, естественно, отрезан, поскольку вы должны быть оригинальны. Вы сами должны вернуть каюту к спутнику (в этом соль нашего рассказа).

У вас нет двигателя? Надо найти.

В.

В качестве двигателя надо использовать реакцию струи вырывающегося из пробоины воздуха. Следует только направить ее в сторону, противоположную спутнику (перемещаясь внутри каюты в одну сторону, космонавты смогут поворачивать ее в другую).

Предложение кажется фантастичным, поэтому придется подкрепить его расчетами. Пусть в каюте содержится 10 м³ воздуха при атмосферном давлении, масса каюты (вместе с космонавтами) M = 300 кг, температура 300 K. При этой температуре средняя скорость молекул воздуха составляет приблизительно 450 м/с (у азота чуть-чуть больше, у кислорода – меньше). Именно с этой средней скоростью молекулы вырываются из каюты через пробоину.

Поскольку при расширении газа в вакуум температура оставшегося газа не понижается (точнее, почти не понижается), то от начала до конца молекулы будут вылетать с постоянной средней скоростью. Правда, реактивная сила нашего двигателя со временем будет убывать, но по другой причине: постепенное понижение давления в каюте понижает не скорость вылетающих молекул, а их число. Нас это может не интересовать, так как общее количество движения вылетающих молекул (и, следовательно, изменение количества движения каюты) мы уже можем подсчитать.

Один кубометр воздуха при 300 K и нормальном атмосферном давлении имеет массу 1,2 кг. Масса 10 м³ воздуха m = 12 кг. Следовательно, реактивная сила вытекающей струи, если ее своевременно и полностью использовать, изменит скорость каюты на

V = mv / M = 12 450 / 300 = 18 м/с

(при строгом решении задачи в числителе должна стоять сумма произведений массы каждой молекулы на ее индивидуальную скорость с учетом того, что направления вылета молекул не совсем одинаковы).

Если каюта оторвалась со скоростью 5 м/с, то, выпустив 5/18 всего воздуха в противоположном движению направлении, потерпевшие остановят каюту (относительно спутника). Выпустив еще 5/18 атмосферы, они придадут ей обратную скорость 5 м/с (в принципе следовало бы еще учитывать, что из-за потери воздуха масса каюты убывает и на обратном пути она меньше, но мы этим пренебрегаем). Оставшийся воздух будет иметь давление 8/18 ≈ 0,45 атм, и еще можно будет с грехом пополам дышать. Сейчас бы самое время заткнуть пробоину. Но если это невозможно, то надо продолжать ориентировать струю от спутника, увеличивая свою скорость (и шансы на спасение) и уменьшая давление воздуха (и шансы на спасение).

Ну, а если каюта удаляется с большой скоростью? Кстати сказать, у Кларка скорость каюты 30 миль в час (около 15 м/с). Тогда дела наши хуже. Но бороться надо: ведь реактивная струя в этом случае может по крайней мере остановить каюту. Следовательно, каюта не уйдет слишком далеко и ее скорее найдут. Наше бездействие было бы неразумным еще и потому, что неконтролируемая струя, возможно, разгоняет каюту. Теперь, даже если помощь запоздает, мы погибнем с гордым сознанием, что сделали все, на что способен человек в данной ситуации (впрочем, возможно, мы еще что-нибудь и упустили).

Отметим, что из задачи следует и менее героический, но вполне практичный вывод: если вам предоставят на выбор несколько кают, то выбирайте ту, в которой больше воздуха и меньше массы. Авось пригодится!

На этом можно было бы и закончить. Но трудно удержаться, чтобы не обсудить некоторые романтические подробности, упущенные Артуром Кларком (который обычно редко их упускает).

Направление пробоины случайно. Может случиться так, что струя будет выходить почти по касательной к поверхности каюты. Тогда каюта придет во вращение, причем с ускорением! Да и удаляться от спутника она будет по замысловатой кривой.

Есть ли выход из этого нового затруднения? Теперь нужно не просто развернуть каюту в требуемом направлении, но сначала остановить ее вращение. Вот выход: надо сделать вторую пробоину! Причем так, чтобы создаваемый второй струей вращающий момент (произведение силы на плечо) был противоположен вращающему моменту от первой струи.

Рис. 18.

На рис. 18 показана цилиндрическая каюта и пробоина 1. Центр масс O находится в стороне от линии действия реактивной силы струи 1. Это и привело к вращению каюты (против часовой стрелки). Новая струя 2 должна проходить по другую сторону центра масс. Тогда она сможет раскручивать каюту в обратном направлении (струя 3 только помогала бы струе 1).

Если у пробоин 1 и 2 по абсолютной величине вращающие моменты одинаковы, то они скомпенсируются, и вращение... нет, не прекратится, а только перестанет ускоряться. Для остановки вращения момент струи 2 должен быть больше момента струи 1. Тогда вращение начнет замедляться. Но если вы вовремя не уменьшите вращающий момент струи 2, то каюта, остановившись, начнет раскручиваться в противоположную сторону. Следовательно, в момент остановки необходимо или срочно пробить отверстие 3 нужных размеров, или, что разумнее, уменьшить отверстие 2. Вывод: пробоину 2 нужно делать так, чтобы она была доступна регулировке.

Добившись остановки вращения, разверните каюту (перемещаясь внутри нее или тонко регулируя отверстие 2) так, чтобы струи были направлены от спутника, к которому вы намереваетесь приблизиться.

Заметим, что остановить раскрутку каюты можно было бы и с помощью струи 4. Но струи 1 и 4 направлены встречно, они компенсировали бы друг другу не только раскрутку, но и поступательное движение, поэтому они не годились бы для главного – возврата каюты к спутнику. Струи 1 и 2 направлены попутно, и поэтому они наилучшим образом пригодны для поступательного разгона каюты.

Фу-у! Наконец-то мы сделали все, что могли. Теперь можно вытереть пот со лба и ждать, чем все это кончится. Впрочем, вытирая лоб, вы перемещаете руку, а вместе с нею и центр масс вашего «корабля», отчего вращающие Моменты двух струй перестанут компенсироваться и каюта начнет вращаться.

Разумеется, делать новые пробоины очень рискованно. Неосторожный удар – и пробоина может оказаться намного больше, чем требуется. Воздух улетучится слишком быстро, и наступит смерть. Компенсировать вращение лучше все-таки с помощью перемещения космонавтов внутри каюты. При этом расход воздуха будет минимальным (единственная пробоина), возможность дышать будет более продолжительной и шансы дождаться спасения – выше. Однако от космонавтов потребуется необычная ловкость: бег по кругу с ускорением* в условиях невесомости при сохранении общего центра масс в определенном месте.

* Дополнительным преимуществом бега является то, что вы согреетесь и согреете воздух, отчего скорость вылета его молекул станет выше и ваш «двигатель» – мощнее. Эта шутка имеет и серьезный аспект: если у вас найдется электроподогреватель, поставьте его поближе к отверстию.

Правда, от бега можно избавиться, если есть возможность сместить центр масс в точку выше прямой 1–4 (в точку O', например). При этом струя 1 начнет раскручивать корабль в обратную сторону (по часовой стрелке), т.е. затормаживать вращение, приобретенное в то время, когда центр масс находился в точке O. Когда вращение затормозится полностью, центр масс надо перенести на прямую 1–4. Такая возможность управления «кораблем» тем вероятнее, чем ближе прямая 1–4 проходит к геометрическому центру корабля.

И последнее: постарайтесь не удариться о спутник, если каюта к нему вернется.

• Задача 27. Вот тебе и невесомость!

• Оглавление

Дата публикации:

10 декабря 2002 года