N-T.ru / Раритетные издания / Пётр Маковецкий |
Задача 54. Пловцы и волныПётр Маковецкий. Смотри в корень! Сборник любопытных задач и вопросов
А.Перед вами «снимок» глади озера сверху (рис. 69). Точки пловцы, окружности волны. Куда плывут пловцы? Какой из пловцов плывет быстрее? Какова скорость пловцов, если скорость волн 0,5 м/с? Рис. 69. Схема расположения пловцов и волн Б.Найдите точки, в которых находились пловцы в начале заплыва. Стоп! Дальше не читать! Подумайте! Если ничего не придумали, читайте дальше. Скорость волны одинакова по всем направлениям; Поэтому волна и является окружностью: от той точки, где она возникла (центра окружности), она прошла по всем направлениям одинаковое расстояние. Очевидно, самая первая волна успела продвинуться дальше всех. Значит, это окружность наибольшего радиуса. Центр этой окружности и есть место старта пловца. Теперь вы без труда ответите на поставленные вопросы. В.Каждая волна создается пловцом. Очевидно, центры всех окружностей изображают последовательные положения пловца. Центр самой большой окружности O1 (рис. 70) изображает первоначальное положение пловца. Следовательно, пловец A плывет вправо, пловец M вперед (на чертеже вверх). За время, за которое пловец проплыл из точки O1 в A, волна 1 прошла расстояние O1B = O1C = O1D = O1E. Расстояние O1B, как следует из измерений по рисунку, вдвое больше расстояния O1A. Следовательно, скорость пловца A вдвое меньше скорости волны, т.е. равна 0,25 м/с. Аналогично измеряем скорость пловца M. Она еще меньше 0,125 м/с. Рис. 70. Определение первоначального положения пловца Оценим теперь качественно картину волн в зависимости от скорости пловца. Если пловец барахтается на месте, он создает концентрические кольца волн. Если он движется, то волны сгущаются в том направлении, куда он плывет, и разрежаются в противоположном направлении. Сгущение тем сильнее, чем больше скорость пловца. Так будет до тех пор, пока скорость пловца не сравняется со скоростью волн. Тогда все окружности большие и малые касаются друг друга в одной точке, а именно в той, в которой находится пловец (рис. 71, а). Если пловец движется быстрее волн, то картина оказывается сложнее (рис. 71, б). Наиболее отчетливо в ней виден клин из двух прямых волн AB и AC общих касательных ко всем круговым волнам. Внутри же клина картина очень запутана: здесь в отдельных местах гребень одной волны складывается с гребнем другой и получается более высокий гребень, в других же местах складываются две впадины, в третьих гребень одной с впадиной другой. И только на прямых AB и AC мы имеем простую картину: вдоль этих прямых выстроились гребни всех кольцевых волн. Рис. 71. Определение места нахождения пловца Построив точку старта O и соединив ее с A и B, мы получаем прямоугольный треугольник OAB, у которого гипотенуза OA изображает путь, пройденный пловцом, а катет OB путь, пройденный волной за то же время t. Если обозначить угол BAC буквой α, то OB/OA = sin (α/2). Разделив числитель и знаменатель левой части на t, мы получаем слева отношение скоростей волны vв и пловца vп. Таким образом, скорость пловца можно найти по формуле vп = vв / sin (α/2). Чем острее клин (меньше α), тем больше скорость пловца. Отметим, что аналогичный клин звуковых волн создается у самолета, летящего со скоростью, большей скорости звуковых волн (со сверхзвуковой скоростью). Этот клин (точнее, поверхность конуса, поскольку в этом случае речь идет о движении волн в среде с тремя измерениями), набегая на наблюдателя, создает у него впечатление орудийного выстрела, после которого наблюдатель, находясь уже внутри конуса, начинает слышать обычный звук самолета. Рис. 72. Клин звуковой волны, создаваемый самолетом Такой конус показан на рис. 72 (а вид сбоку, б вид сверху). На поверхности конуса давление выше, чем снаружи и внутри. Вблизи самолета перепад давления может достигать значительной величины, зависящей от высоты полета, типа машины, ее скорости; поэтому ударная волна низко летящего сверхзвукового самолета может произвести заметные разрушения. Но при высоте полета более 10 000 м волна достигает земли с давлением, превышающим атмосферное не более чем на доли процента. Земной наблюдатель D видит самолет A в зените, но не слышит его звука; на наблюдателя C в данный момент набегает поверхность конуса с повышенным давлением, и он слышит «выстрел». Наблюдатель E находится внутри конуса, он слышал «выстрел» в момент, когда самолет находился в точке A', а сейчас слышит обычный гул самолета. Часто удается различить, что «выстрел» двойной: второй удар происходит от хвостовой волны ΧΥΖ (на поверхности этого конуса давление ниже, чем снаружи и внутри). Линия пересечения конуса и плоской поверхности земли гипербола NCM, во всех точках которой «выстрел» слышен одновременно. Она отделяет зону K, в которой самолет еще не слышен, от зоны L, в которой он уже слышен. Эта гипербола движется по земле со скоростью самолета. Кстати, не поленитесь вычислить эту скорость, исходя из того, что на рисунке α = 100°. Более подробно об этом явлении можно прочесть в брошюре: Миронов А.Д. Сверхзвуковой «хлопок» самолета. М.: Воениздат, 1964. Обратите внимание, что приведенная формула при vп < vв дает sin (α/2) = vв / vп > 1, что невозможно. Не надо думать, что это ставит под сомнение правильность формулы. Наоборот, своим экстравагантным поведением формула предостерегает читателя, чтобы он держал ухо востро: область применения формулы кончилась, при vп < vв картина волн меняется не только количественно, но и качественно, клин волн исчезает, угол α теряет физический смысл, картина волн становится подобной рис. 69.
Задача 55. Волны и поплавки |
Дата публикации: 23 октября 2003 года |
|