Задача 67. Два будильника

Пётр Маковецкий. Смотри в корень! Сборник любопытных задач и вопросов

А.

На столе стоят два однотипных будильника. Но один из них идет точно, второй же отстает. Требуется быстро определить, насколько он отстанет за сутки. Как это сделать?

Б.

Можно, конечно, поступить по-разному. Например, поставить на отстающем будильнике в точности такое же время, как и на точном, и затем снять разность показаний через 24 часа. Но этот способ отнимает много времени и не так уж точен. В будильниках нет секундной стрелки, и мы не можем установить один будильник по второму с точностью до секунды. Ошибка начальной установки по минутной шкале может достигать четверти минуты. Такую же ошибку вы допустите при снятии показаний в конце срока. В результате ошибка измерений может достигать полминуты. А если расхождение будильников за сутки составляет 2 минуты, то относительная погрешность измерения расхождения составит 25% – весьма большую величину.

Если бы на будильниках были секундные стрелки, то можно было бы получить более высокую точность. Но секундные стрелки движутся быстро. При сравнении положений двух секундных стрелок за время, в течение которого вы переводите взгляд с одной стрелки на другую, их положение изменится. Это осложняет задачу и не позволяет получить ту точность, которой можно было бы достигнуть теоретически.

А нельзя ли определить расхождение будильников по их тиканью? Ведь вам не нужно «переводить слух» с одного будильника на другой! Кроме того, даже если секундных стрелок и нет, то, поскольку часы тикают много раз в минуту, тиканье может до некоторой степени заменить секундную стрелку. Подумайте, как использовать звуки двух будильников для измерений. Можно ли провести измерения вообще не глядя на часы (ночью или с закрытыми глазами)? Нужно ли для этого знать период тиканья, т.е. промежуток времени от одного звука до следующего? Как долго будет длиться ваш эксперимент?

В.

Если часы однотипны*, но идут неодинаково, то периоды тиканья у них будут разными. Поэтому удары часов будут то совпадать, то расходиться, а затем через некоторое время снова совпадать. Начнем эксперимент в момент, когда удары совпадают (часы идут «в ногу»). Будем считать число ударов правильного будильника от одного совпадения до следующего. Чтобы не спутать, каким часам принадлежат подсчитываемые нами удары, расположим будильники так, чтобы мы различали, что звуки идут к нам явно с разных направлений. Допустим, что с момента одного совпадения до следующего мы насчитали 72 удара точных часов. Это значит, что отстающие часы успели за это время опоздать ровно на один удар, т.е. сделали 71 удар, и 71-й удар их совпал с 72-м ударом точных. Следовательно, часы отстают на 1/72 часть, что в сутки составит 20 минут.

* У неоднотипных часов даже при точном ходе могут быть различия либо в частоте ударов, либо в тембре звука, что помешает эксперименту.

Рис. 85. Соотношение периодов колебаний часов

Поясним сказанное рисунком. На рис. 85 верхняя шкала вертикальных черточек показывает моменты ударов точных часов, шкала под нею – моменты ударов отстающих часов. В момент t₀ удары обоих часов совпали. В дальнейшем удары отстающих часов начинают все более отставать от ударов правильных (сравните удары 1 и 1'; 2 и 2'; 3 и 3'), пока не отстанут на целый период. На рисунке это произошло на шестом ударе: пятый удар отстающих часов совпал с шестым ударом правильных (такой будильник за 6 часов отстанет на 1 час, за сутки – на 4 часа). В дальнейшем поведение часов периодически повторяется (сравните моменты t₁, t₂, t₃ и т.д.).

Чем меньше разница в ходе часов, тем больше число ударов от одного совпадения до другого. Например, если часы за сутки отстают только на 1 минуту, то между совпадениями произойдет 24·60 = 1440 ударов.

Показанный на рисунке пример является слишком частным, он соответствует случаю, когда соотношение периодов будильников является отношением целых чисел. Возможно, однако, такое положение, когда 54-й удар вторых часов еще опережает 55-й удар первых, а 55-й удар вторых часов уже отстает от 56-го удара первых, т.е. точное совпадение произошло между 55-м и 56-м ударами верных часов и не могло быть отмечено. Если отношение является отношением рациональных чисел, то совпадение когда-нибудь все-таки окажется вполне точным. Например, если совпадение должно было произойти точно посредине между 55-м и 56-м ударами точных часов (т.е. посредине между 54-м и 55-м ударами отстающих) и, таким образом, отношение равно 55,5:54,5, то следующее точное совпадение произойдет на 111-м ударе точных часов (55,5·2 = 111) и 109-м ударе неточных (расхождение в 2 удара!). В этом случае, очевидно, расхождение составляет не 1/111 часть, а 2/111 = 1/55,5.

Если в момент t₀ было точное совпадение ударов, но отношение периодов есть иррациональное число, то второго точного совпадения теоретически уже не будет более никогда. Однако на практике одни часы от других отстают обычно на очень малый процент, поэтому отставание накапливается медленно, и, следовательно, всегда в серии ударов можно найти такой, в котором звуки обоих будильников совпадают с высокой точностью. Человеческое ухо (особенно музыкальное, тренированное) является хорошим анализатором ритма и очень точно отмечает совпадение. При соотношении ритмов 100:99 момент совпадения можно отметить с точностью до одного удара (т.е. в худшем случае найти, что совпадение произошло не на сотом, а на сто первом ударе, и этим самым допустить ошибку измерения в 1%). Кроме того, ошибку можно уменьшить путем повторения опыта и вычислением среднего арифметического из нескольких измерений. Можно также продолжить счет от начального совпадения до некоторого n-го (например, пятого t₅) и затем разделить результат счета* на n.

* Когда в задаче «Лицом к лицу с точностью» вы будете решать проблему нестабильности лазера, вспомните об этой возможности.

Затраты времени на эксперимент при этом незначительны: если удары будильника следуют через каждые полсекунды, то сто ударов могут быть сосчитаны за 50 с. Знать при этом абсолютную продолжительность периодов тиканья будильников совершенно не обязательно: ведь результатом измерений являются не сами величины периодов, а только их отношение, которое и позволяет немедленно определить относительную погрешность часов.

Заметим, что неравномерность хода часов в течение суток несколько портит описанную выше идеальную картину и мешает достигнуть предельной точности.

Описанный здесь метод быстрого измерения малых расхождений двух ритмов можно назвать нониусом времени, потому что в его основу заложен тот же принцип, на котором строится известный в измерениях длин метод нониуса.

Рис. 86. Сравнение частот двух синусоидальных колебаний

Полезно сравнить задачу о двух будильниках с радиотехнической задачей сравнения частот двух синусоидальных колебаний. На рис. 86, а и б показаны два синусоидальных колебания с частотами f₁ и f₂ (причем f₁ > f₂) или, что то же самое, с периодами

T₁ = 1/f₁ < 1/f₂ = T₂.

На 6 периодов T₁ приходится 5 периодов T₂ (ср. с рис. 85). Если эти колебания сложить, то результирующее колебание (рис. 86, в) окажется модулированным по амплитуде. Максимумы огибающей будут в моменты, когда обе синусоиды совпадают по фазе (момент t₀ – совпадение 0 и 0'; момент t₂ – совпадение шестой волны первой синусоиды с пятой волной второй и т.д.). Минимумы соответствуют моментам t₁, t₃, ..., когда обе синусоиды оказываются в противоположных фазах. Период модулирующего колебания

T = 6T₁ = 5T₂

равен времени, в течение которого два исходных колебания разойдутся на одну волну (6 – 5 = 1). За секунду они разойдутся на f₁ – f₂ волн. Таким будет число колебаний огибающей в секунду, т.е. частота огибающей f:

f = f₁ – f₂.

Таким образом, частота пульсации результирующего колебания оказывается равной разности частот исходных колебаний. Ее называют разностной частотой или частотой биений. С помощью детектора или другого устройства можно выделить эту частоту и отсеять исходные. Операция выделения разностной частоты широко используется в радиотехнике. В супергетеродинном приемнике при смешении частот приходящего сигнала и местного гетеродина выделяется разностная, промежуточная частота. В радиолокации при смешении посылаемого сигнала с отраженным от движущегося объекта выделяется разностная – доплеровская частота, пропорциональная радиальной скорости объекта (см. задачу «Письма с дороги»).

• Задача 68. Просим к роялю!

• Оглавление

Дата публикации:

26 июня 2004 года