Задача 75. Тень столба

Пётр Маковецкий. Смотри в корень! Сборник любопытных задач и вопросов

А.

Столб высотой h = 5 м и толщиной b = 10 см отбрасывает на равнину длинную тень: Солнце уже клонится к закату, высота его над горизонтом всего лишь φ = 10°. Чему равна длина тени столба? Какова будет ее длина, если высоту столба увеличить вдвое?

Б.

Тот, кто подходит к задаче невнимательно, решает задачу в два счета: он рисует чертеж, подобный рис. 99, затем вычисляет:

l₁ = h₁ ctg 10° ≈ 5·5,67 = 28,35 м.

Рис. 99. Построение тени для точечного источника

Для второго столба длина тени

l₂ = 2l₁ = 56,7 м.

Внимательный же читатель заметит, что в таком решении никак не использована одна величина, приводимая в исходных данных, а именно толщина столба. При чем тут толщина столба? Какое отношение она имеет к длине тени? Читатель, поставивший эти вопросы, уже близок к правильному решению задачи.

В.

Приведенный выше способ вычисления длины тени верен только в случае, когда угловые размеры источника света ничтожно малы («точечный» источник). Солнце – далеко не точка. Его угловые размеры α равны приблизительно 0,5°. Тень в данной точке возможна только при условии, что для этой точки источник света закрыт полностью. В данном случае источник света закрывается сравнительно тонким столбом. Поэтому вполне вероятно, что в том месте, где при расчете по приведенным выше формулам должна находиться тень вершины столба, на самом деле будет всего лишь полутень, бледная, еле заметная, а то и совсем незаметная. Полная тень будет только в тех точках, для которых видимые угловые размеры толщины столба α₂ превосходят угловые размеры α Солнца C, т.е. α₂ ≥ α = 0,5°.

Рис. 100. Построение тени столба

Отрезок b = 10 см виден под углом α₂ (рис. 100) с расстояния r₁, которое можно найти из приближенной формулы

sin α ≈ b/r₁.

Угол α₂ будет равен углу α, если

r₁ = b/sin α = 10/0,0087 = 1140 см = 11,4 м.

Рис. 101. Построение полутени столба

На рис. 101 показан столб BO высотой h, его тень A₁₀ длиной l₁ и полутень AA₁. Длину тени, очевидно, можно найти из треугольника A₁B₁O, у которого гипотенуза равна вычисленному r₁:

l₁ = r₁ cos 10° ≈ 11,4 · 0,985 ≈ 11,2 м.

В вычислениях длины тени второго, более высокого столба, очевидно, нет необходимости. При данной толщине столбов длина тени не зависит от их высоты, если высота превосходит некоторую критическую, равную в нашем случае

h_кр = r₁ sin 10° ≈ 11,4 · 0,174 ≈ 2 м.

И только если h < h_кр = 2 м, то длина тени пропорциональна высоте столба.

• Задача 76. К вопросу о схематизме в искусстве

• Оглавление

Дата публикации:

14 августа 2004 года