N-T.ru / Раритетные издания / Пётр Маковецкий |
Задача 75. Тень столбаПётр Маковецкий. Смотри в корень! Сборник любопытных задач и вопросов А.Столб высотой h = 5 м и толщиной b = 10 см отбрасывает на равнину длинную тень: Солнце уже клонится к закату, высота его над горизонтом всего лишь φ = 10°. Чему равна длина тени столба? Какова будет ее длина, если высоту столба увеличить вдвое? Б.Тот, кто подходит к задаче невнимательно, решает задачу в два счета: он рисует чертеж, подобный рис. 99, затем вычисляет: l1 = h1 ctg 10° ≈ 5·5,67 = 28,35 м. Рис. 99. Построение тени для точечного источника Для второго столба длина тени l2 = 2l1 = 56,7 м. Внимательный же читатель заметит, что в таком решении никак не использована одна величина, приводимая в исходных данных, а именно толщина столба. При чем тут толщина столба? Какое отношение она имеет к длине тени? Читатель, поставивший эти вопросы, уже близок к правильному решению задачи. В.
Приведенный выше способ вычисления длины тени верен только в случае, когда угловые размеры источника света ничтожно малы («точечный» источник). Солнце далеко не точка. Его угловые размеры α равны приблизительно 0,5°. Тень в данной точке возможна только при условии, что для этой точки источник света закрыт полностью. В данном случае источник света закрывается сравнительно тонким столбом. Поэтому вполне вероятно, что в том месте, где при расчете по приведенным выше формулам должна находиться тень вершины столба, на самом деле будет всего лишь полутень, бледная, еле заметная, а то и совсем незаметная. Полная тень будет только в тех точках, для которых видимые угловые размеры толщины столба α2 превосходят угловые размеры α Солнца C, т.е. α2 ≥ α = 0,5°. Рис. 100. Построение тени столба Отрезок b = 10 см виден под углом α2 (рис. 100) с расстояния r1, которое можно найти из приближенной формулы sin α ≈ b/r1. Угол α2 будет равен углу α, если r1 = b/sin α = 10/0,0087 = 1140 см = 11,4 м. Рис. 101. Построение полутени столба На рис. 101 показан столб BO высотой h, его тень A10 длиной l1 и полутень AA1. Длину тени, очевидно, можно найти из треугольника A1B1O, у которого гипотенуза равна вычисленному r1: l1 = r1 cos 10° ≈ 11,4 · 0,985 ≈ 11,2 м. В вычислениях длины тени второго, более высокого столба, очевидно, нет необходимости. При данной толщине столбов длина тени не зависит от их высоты, если высота превосходит некоторую критическую, равную в нашем случае hкр = r1 sin 10° ≈ 11,4 · 0,174 ≈ 2 м. И только если h < hкр = 2 м, то длина тени пропорциональна высоте столба.
Задача 76. К вопросу о схематизме в искусстве |
Дата публикации: 14 августа 2004 года |
|