Задача 82. Секрет красоты

Пётр Маковецкий. Смотри в корень! Сборник любопытных задач и вопросов

А.

Возьмите лоскут какой-нибудь не очень плотной, просвечивающей, без рисунков ткани (ситец, шелк) и посмотрите на просвет (на фоне неба). Вы увидите мелкую решетку из взаимно перпендикулярных продольных и поперечных нитей, и ничего больше. Сложите теперь этот лоскут вдвое и снова посмотрите на просвет. Если вы ранее не обращали внимания на это зрелище, то вы будете поражены красивым узором из крупных темных и светлых полос, плавно и согласованно изогнутых и, что особенно интересно, сильно смещающихся и меняющих форму при самом незначительном смещении одной половины лоскута относительно другой. Откуда взялись эти узоры? В чем секрет этой красоты? Ведь ни та, ни другая половина лоскута не содержит никаких узоров, кроме мелкоструктурной решетки из нитей!

Б.

Если вы хотите самостоятельно разобраться в этом явлении, то поставьте следующий опыт. Начертите тушью на двух листах кальки по десятку параллельных полос. Ширину полос и просветов между ними сделайте одинаковой и равной, например, 2 мм. Такую комбинацию полос называют параллельным растром, а расстояние от полосы до полосы (сумма ширины полосы и просвета) – шагом растра. Наложите теперь кальки друг на друга так, чтобы полосы одного листа были чуть-чуть не параллельны полосам второго листа. Посмотрите кальки на просвет с большого расстояния, а затем – с малого. Меняйте угол пересечения полос и наблюдайте за поведением узора. Большая толщина линий позволит вам найти причину появления светлых и темных полос узора.

Рекомендуем сделать еще одну кальку с чуть-чуть большей шириной черных и светлых линий (например, 2,2 мм), а также кальку с линиями, слегка расходящимися веером, и, наконец, кальку с концентрическими окружностями.

В.

Из рис. 111, а и б, на которых наложены два параллельных растра с одинаковым шагом, видно, что, благодаря небольшой непараллельности, линии разных растров то налагаются друг на друга (направления 22' и 44' на рис. 111, б), то попадают друг другу в просветы (направления 11', 33', 55'). Там, где линии попадают в просветы, величина просветов, естественно, уменьшается, отчего вдоль соответствующих направлений 11', 33', 55' создаются широкие темные полосы узора. Вдоль же направлений 22', 44' и т.д. создаются, наоборот, светлые полосы узора. В простейшем случае, когда оба растра одинаковы, т.е. обладают одинаковым шагом h, и когда угол наклона между обоими растрами α очень мал, расстояние между светлыми полосами узора 22' и 44' равно r = h/tg α. Следовательно, при малых углах α расстояние между полосами узора r намного превосходит шаг растра h. Так, например, для α = 5° имеем

tg α = 0,0875, r = h/0,0875 ≈ 11,5 h.

Рис. 111. Построение муара

По этой же причине полосы узора сдвигаются намного сильнее, чем линии растров. Так, например, при сдвиге наклонного растра вверх на h полосы узора сдвигаются влево на r, т.е. в 11,5 раза больше.

Явление возникновения узоров при наложении двух близких по наклону или шагу растров называют муар-эффектом, а сам узор – муаром.

Рис. 112. Муар от параллельных растров

Рассмотрим второй случай муар-эффекта, когда два растра налагаются друг на друга параллельно, но шаг растров неодинаков. На рис. 112 показаны растр A (линии 1, 2, 3, ...) с толщиной линий и просветов по 2 мм (т.е. шаг h = 4 мм) и растр B (1', 2', 3', ...) с шагом h' = 4,8 мм. При параллельном наложении линии растров с неравным шагом то совпадают (11', 76'), то попадают друг другу в просвет (33' 4, 98' 10), отчего и здесь возникают широкие темные и светлые полосы узора. Если первое совпадение произошло для линий 1 и 1', то следующее совпадение произойдет там, где оба растра разойдутся ровно на один шаг, т.е. там, где (n + 1)h = nh'. Решая это уравнение относительно n, имеем n = h/(h' – h). В нашем примере h = 4 мм и h' = 4,8 мм, т.е.

n = 4/(4,8 – 4) = 4/0,8 = 5.

Таким образом, следующее совпадение произойдет через n + 1 = 6 шагов растра A, или через n = 5 шагов растра B (совпадение линий 7 и 6'). При незначительном сдвиге растра B на один шаг h' происходит большое перемещение в обратную сторону широких полос узора на nh' = 5h'.

Рис. 113. Муар от искривленного растра

Рис. 114. Муар от концентрического растра

Если на параллельный растр накладывается слегка расходящийся, то картина муара оказывается весьма своеобразной (рис. 113): светлые и темные полосы муара красиво изгибаются, малейший поворот или сдвиг одного растра относительно другого приводит к большим изменениям узора. Узор «оживает», «переливается», «играет».

На рис. 114 на параллельный растр наложена серия концентрических окружностей. Узор муара отсутствует там, где окружности перпендикулярны к прямым (слева и справа), и отчетливо виден в тех областях, где окружности параллельны или почти параллельны прямым (вверху и внизу).

В случае наложения двух кусков одной и той же ткани, очевидно, имеют место все описанные выше эффекты: нити одного куска слегка непараллельны нитям другого; один кусок несколько больше растянут, чем другой, отчего шаги нитей в кусках неодинаковы; возможны веерообразные искажения растра нитей и т.д. Все это приводит к очень сложной игре узоров муара.

Интересно отметить, что если вы наложите два куска различных тканей с сильно различающимся шагом, то узор муара будет почти незаметен или же его полосы будут очень мелкими. Это следует и из приведенной выше формулы. Наоборот, чем меньше отличаются два растра по шагу, тем крупнее полосы узора. При точном совпадении шага двух растров ширина темной или светлой полосы становится бесконечно большой: либо все линии обоих растров строго совпадают, что соответствует светлой полосе; либо все линии одного растра попадают в просветы другого («переплетение» растров) – это дает потемнение на всем протяжении растра. Этот эффект можно с успехом использовать (и его используют) для проверки качества изготовления различных растров (наложение изготовленного растра на эталонный позволяет по картине муара быстро определить степень их одинаковости).

Явление муара используется, конечно, и в текстильной промышленности – для создания «переливов» в тканях. Это же явление довольно часто встречается и в окружающей нас обстановке. Вот пример: вы из окна поезда видите на холме огороженный забором участок земли, причем для вас передний и задний заборы совпадают на фоне неба. Поскольку доски ближайшего забора видны вам под бОльшим углом зрения, чем дальнего, то наблюдаемая вами картина совпадает с картиной рис. 112, передний забор соответствует растру B с более крупным шагом. В результате неравенства видимых (угловых) размеров шага обоих заборов вы видите в картине забора широкие светлые и темные полосы, быстро бегущие в ту сторону, куда идет ваш поезд. Другой пример муара – узор, создаваемый на экране телевизора параллельным растром строк и расходящимся растром черных линий испытательной таблицы, передаваемой для проверки качества регулировки телевизора.

Наконец, вернитесь к задаче с двумя будильниками. Неравенство их хода тождественно неравенству шага двух параллельных растров. В результате удары будильников то совпадают, то расходятся, чтобы снова совпасть, когда один «временной растр» опередит другой ровно на один шаг. Это тот же муар, только уже не в пространстве, а во времени. Оба они подчиняются одним и тем же закономерностям.

• Задача 83. Разглядывая сквозь щель

• Оглавление

Дата публикации:

10 октября 2004 года