Задача 110. Никто не обнимет необъятного

Пётр Маковецкий. Смотри в корень! Сборник любопытных задач и вопросов

А.

На столе лежит знаменитое ньютоновское яблоко, участвовавшее в открытии закона всемирного тяготения (если оно почему-либо внушает робость, то пусть будет обычное, с базара).

Что нужно было бы принять во внимание, чтобы вычислить абсолютно точно ту силу, с которой яблоко в данный момент давит на стол?

Б.

То решение, которым обычно удовлетворяются, предельно просто: сила Q, с которой яблоко давит на стол, равна весу (по абсолютной величине силе тяжести) яблока:

Q = P,

т.е. если при покупке яблоко весило 0,2 кгс, то и Q = 0,2 кгс (разумеется, при предположении, что взвешивание не содержало грубых ошибок). Однако для нашей задачи этого мало. Вам надо перечислить все причины, которые влияют на силу давления яблока в данное мгновение на стол.

Чтобы легче было обнаружить все причины, расшифруем формулу так:

Q = P = mg,

где m – масса яблока, g – ускорение свободного падения.

Проанализируем отдельно каждый из элементов формулы. Их четыре:

1. По каким причинам могла измениться масса яблока m?

2. Ускорение g?

3. Является ли равенство P = mg абсолютно точным? Или в него следует ввести дополнительные слагаемые либо сомножители?

4. Верно ли равенство Q = P?

В.

1. Масса яблока меняется во времени: испарение воды под действием тепла и солнечных лучей (либо отсыревание от атмосферной влаги); выделение и поглощение газов из-за продолжающихся химических реакций, сопровождающих созревание, фотосинтез, гниение; вылет электронов под действием световых, рентгеновских и гамма-лучей; поглощение бомбардирующих яблоко протонов, нейтронов, электронов, световых и других квантов; излучение собственных радиоволн и поглощение радиоволн, излучаемых вами, и т.д. – все это влияет на массу яблока.

2. Ускорение свободного падения меняется и в пространстве, и во времени. В пространстве – зависит от географической широты (потому что Земля – не шар, а геоид), от высоты над уровнем моря (обратно пропорционально квадрату расстояния от центра Земли). Поскольку маловероятно, чтобы при переносе яблока с базара на стол ничуть не изменилась ни его широта, ни высота, над уровнем моря, то по этим причинам ускорение свободного падения стало иным*. Яблоко несимметрично, поэтому, перевернув его на другой бок, вы изменили бы высоту его центра масс и, следовательно, ускорение свободного падения. Земной шар неоднороден, по отношению к столу массы внутри шара расположены иначе, чем по отношению к базару, изменилось положение яблока и по отношению к другим массам – домам, деревьям и т.д.

* Более того, ускорение свободного падения неодинаково даже по отношению к двум чашкам весов. Поэтому, переставив местами гирю и яблоко, мы в принципе должны получить иные результаты.

Все это надо учитывать при абсолютно точном решении вопроса.

Во времени ускорение свободного падения меняется из-за непрерывного перемещения масс внутри земного шара, роста одних гор и понижения других; из-за перемещения морских волн, облаков, бульдозеров, пешеходов и бактерий; из-за непрерывного возрастания массы Земли благодаря выпадению метеорной пыли и уменьшения массы благодаря отлету экспедиции на Венеру.

3. Если весом (силой тяжести) условились считать произведение массы на ускорение свободного падения на Земле и именно на нашем столе, то равенство

P = mg

является точным. Тогда неверно равенство Q = P, так как, кроме Земли, на яблоко действуют Луна, Солнце, планеты, звезды, а кроме гравитации – центробежные силы инерции, вызванные вращением Земли, и др.

Однако вес P на базаре, с которого принесено яблоко, определяют без учета этих сил, динамометром – безменом, например. Тогда неверно соотношение P = mg, в правой части должны появиться дополнительные слагаемые, причем само равенство придется писать уже в векторной форме, так как сила, вызванная вращением Земли, параллельна экваториальной плоскости и в общем случае не параллельна вектору силы тяжести.

4. Верно ли равенство Q = P?

Нет, потому что оно не учитывает, что яблоко «плавает» в воздухе (точнее, утонуло в нем), и поэтому из P нужно вычесть силу Архимеда, которая сама меняется вместе с атмосферным давлением.

Нет, потому что на яблоко действуют переменные силы конвекции нагретого и холодного воздуха, переменные силы от перемещающихся внутри яблока молекул и гусеницы.

Нет, потому что на яблоко давят солнечные лучи, причем сила этого давления по абсолютной величине зависит от прозрачности атмосферы, а по направлению – от положения Солнца на небе. Если один бок яблока красный, а другой – зеленый, то они по-разному отражают солнечные лучи, а поэтому равнодействующая светового давления приложена к яблоку не точно по центру и, следовательно, стремится повернуть яблоко вместе со столом и земным шаром. Число световых квантов, падающих на яблоко в единицу времени, случайно, а потому световое давление быстро и беспорядочно меняется (как и давление, вызванное бомбардировкой яблока молекулами воздуха).

Равенство неверно еще и потому, что, кроме законов Ньютона и Архимеда, на яблоко действует закон Кулона: как только из него под действием света вылетел электрон, яблоко оказалось заряженным положительно и начало притягиваться к этому и другим электронам Вселенной. И хотя яблоко по существу представляет собой раствор многих солей и. органических соединений и поэтому является хорошим проводником электричества, но оно изолировано от других проводников изолятором – столом, что позволяет ему заряжаться при вылете электрона. Поскольку электроны внутри яблока движутся, то это создает электрический ток, который, взаимодействуя с магнитными полями Земли, солнечной короны и т.д., создает дополнительные силы, действующие на яблоко.

А еще надо учесть, что с того момента, как мы положили яблоко на стол, последний под тяжестью плода начал сильнее давить на пол, и фундамент начал глубже опускаться в почву, постепенно тормозясь и стремясь к новому устойчивому положению. Опускание с торможением приводит к тому, что к силе тяжести яблока добавляется переменная сила инерции от торможения. К тому же приводит вибрация внутри яблока, стола, фундамента и Земли, вызванная тем, что мы положили яблоко на стол с ударом (который имеет место даже при самых больших предосторожностях). Правда, эти вибрации очень быстро затухают практически до нуля, но теоретически – не затухнут полностью никогда. А еще следует учесть вибрации токарного станка в школьных мастерских на станции Долгинцево, шелест страниц в Белицкой школе, плеск гиппопо в Лимпопо. И так далее.

Как отнестись ко всему изложенному выше?

Как к шутке? Можно и так.

Задача является отчасти авторской пародией на некоторые предыдущие задачи, в которых автор иногда не в меру увлекается подробностями. Ее можно рассматривать как шарж (разумеется, дружеский: автор испытывает к самому себе и к своим задачам исключительно дружеские чувства). Но шутливой здесь является только форма. Содержание же задачи абсолютно серьезно – если требуется абсолютная точность. Задача этой задачи – показать, что всякая физическая задача бесконечно сложна, потому что на всякое физическое тело действуют одновременно все законы физики. В том числе и еще не открытые!

Физическая задача может быть решена лишь приближенно. И в зависимости от той точности, которая требуется в конкретной ситуации, понадобится учесть меньшее или большее число факторов. И хотя при определении силы давления яблока на стол, видимо, ничего, кроме равенства

Q = P,

на практике не потребуется, но в других задачах может потребоваться многое.

Вы видели, как много требовалось в задаче о зеркалах и Гибралтаре, хотя на первый взгляд она казалась не сложнее задачи с яблоком.

Какие же факторы надо учитывать? Чтобы узнать это, нужно расположить их в ряд по степени важности и отбросить все последние, начиная с того, вклад которого существенно меньше разрешенной вам погрешности. А как их правильно расположить в ряд? Строго говоря, для этого нет другого способа, кроме как вычислить вклад каждого из факторов. Но тогда и упрощенная задача не проще нашей. На практике приходится при оценке многих факторов полагаться на интуицию и опыт, что упрощает задачу, но вносит некоторую долю риска.

Школьник обычно решает задачу еще проще: подавляющее большинство перечисленных факторов отсеивается само по себе тем, что они не приходят в голову, т.е. не попадают в отсеивающее сито. Так легче решать, но так легче и ошибиться.

• Задача 111. Звезды позируют перед фотоаппаратом

• Оглавление

Дата публикации:

20 октября 2007 года