Уравнение Пелля и уравнение y² + 1 = 2x⁴

Валерий МЕШКОВ

Полная версия статьи: DOC (309 кб).

В теории чисел наибольшие трудности представляет решение некоторых видов диофантовых уравнений. Одним из таких является уравнение Люнгрена, который в 1942 г. сам же нашел его решение. Однако оно было настолько сложным, что наиболее известный и авторитетный специалист в этой области покойный профессор Морделл утверждал: «Трудно вообразить более сложное решение, и можно только желать его упрощения».

Последующие упрощения решения различными авторами все же использовали изощренные математические методы и сложные вычисления. При этом не учитывалось, что данное уравнение является частным случаем уравнения, которое связано с уравнением Пелля. В свою очередь, уравнение Пелля является одним из наиболее изученных диофантовых уравнений. Весьма подробное изложение истории исследования этого уравнения имеется во многих руководствах по теории чисел.

Решения этого уравнения для рассматриваемого случая могут быть представлены с помощью алгебраических чисел в виде простых рекуррентных соотношений. На их основе далее были получены нелинейные рекуррентные соотношения. Уравнение Люнгрена накладывает дополнительные ограничения на эти решения, что позволяет найти его решение элементарными методами.

Далее доказывается теорема о найденных решениях. При доказательстве используется давно известная оценка Лиувилля, эффективность применения которой, как правило, невелика. В рассматриваемом подходе она применяется к монотонным последовательностям иррациональных чисел, среди которых могут быть рациональные числа. Именно свойство монотонности приводит к эффективности оценки Лиувилля, что дает возможность получить искомое решение практически элементарными средствами.

В приложении показано, как обобщается данный подход применительно к более общим диофантовым уравнениям.

Источники информации:

1. Эдвардс Г. Последняя Теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел. М.: Мир, 1980.
2. Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. М.: Мир, 1987.
3. Steyner R., Tzanakis N. Simplifying the Solution of Ljungren's Equation. J. Number Theory 37 (1991), 123...132.
4. Chen Jian Hva. Новое решение диофантова уравнения. J. Number Theory 48 (1994), 62...74.

Дата публикации:

3 мая 2006 года