N-T.ru / Текущие публикации / Наука сегодня |
Уравнение ПелляМультипликативные свойства и ациклический метод решения
Полная версия статьи: DOC (713 кб).
Хотя решению уравнения Пелля и связанных с ним диофантовых уравнений, посвящено много работ, интерес к этим задачам теории чисел актуален и в настоящее время. Наиболее известен циклический метод, применяемый еще с древних времен. Имеются некоторые разновидности и варианты этого метода (английский метод, метод непрерывных дробей, композиции форм и т.д.), но все они являются той или иной интерпретацией циклического метода (ЦМ). Оказывается, что с ростом характерного параметра уравнения, при некоторых его значениях, нахождение решения требует значительных вычислительных усилий. Большинство современных работ также используют в качестве основы ЦМ. Применение компьютеров во многом облегчают вычисления, однако с методической точки зрения представляет интерес, что и во времена Ферма можно было сформулировать подход, эффективно снижающий объем вычислений, облегчающий и ускоряющий нахождение решения. Значительный выигрыш с этой точки зрения проявляется, как правило, в «трудных» случаях. Предлагаемый в данной работе ациклический метод решения (АЦМ) включает элементы ЦМ, однако не имеет жесткой привязки к фиксированному алгоритму вычислений, и является гибким методом, позволяющим искать и находить оптимальный алгоритм решения для конкретных случаев. При этом используются мультипликативные свойства уравнения Пелля и мультипликативная структура промежуточных решений. Найдены такие их значения, для которых дальнейшее решение вычисляется по формулам. Приведены некоторые теоремы, дающие теоретическое обоснование методу, а также введена новая запись последовательности решения с помощью несократимых дробей. Это позволило достаточно экономно записывать все этапы решения для очень больших чисел, величина которых для данной статьи ограничивается размером шрифта и размером листа бумаги. Приведено большое число примеров решения уравнений в порядке возрастания сложности и объема вычислений. Оценка эффективности АЦМ проводится путем сравнения шагов решения с числом шагов ЦМ, полученного в одной из недавних работ. Существует явная тенденция повышения эффективности АЦМ с ростом сложности задачи. Отметим для сравнения, что полная запись решения наиболее сложного последнего примера составляет около двух страниц довольно крупным шрифтом. Полная запись последовательности решения циклическим методом содержит более чем в тридцать раз большее число шагов, и объем ее текста намного превысит объем всей данной статьи. Таким образом, предлагаемый метод реализует принцип: больше анализируем, меньше вычисляем. Соответственно при конкретной компьютерной программной реализации будет задействован значительно меньший объем памяти, что даст возможность решать уравнения с большими параметрами и снижать время вычислений.
Источники информации:
|
Дата публикации: 13 июля 2006 года |
|