Задача 92. Кванты в кастрюле

Пётр Маковецкий. Смотри в корень! Сборник любопытных задач и вопросов

А.

Кастрюля диаметром 20 см и высотой 15 см выставляется на свет так, что дно ее перпендикулярно к лучам. Каждую секунду внутрь попадает два миллиарда квантов. Спустя минуту кастрюля мгновенно закрывается крышкой. Сколько квантов оказываются захлопнутыми внутри?

Б.

Кое-кто из вас вспоминает, что в детстве он уже смеялся над чудаком из сказки, который подобным образом пытался запасти в горшке свет на черный день. Не надо смеяться: чудаки движут науку. Это был наивный, но тем не менее вполне научный эксперимент. Хотя и интуитивно, но экспериментатор исходил из достаточно здравой гипотезы, которую впоследствии назвали законом сохранения энергии. Результат эксперимента оказался почему-то отрицательным, но отрицательные результаты тоже движут науку вперед, если из них делаются должные выводы. Не назовете же вы чудаком Галилея за то, что для измерения скорости света он предложил послать луч с одной горы на другую, зажечь фонарь на второй горе в момент прихода туда света с первой и мерить на первой горе время между моментами отправления сигнала и возврата ответного. Идея была правильной, сейчас на ней держатся радио- и светолокация. Галилей потерпел неудачу только потому, что точность его приборов была слишком малой. Может быть, и у нашего чудака опыт не удался по той же причине?

Пристыдив таким образом шутников, приступим к делу.

Сразу же отметаем, как абсурдный, ответ, что за 60 с накопится 120 млрд квантов. Квант не может покоиться. Он остается квантом, только пока движется со световой скоростью. Число квантов в кастрюле не зависит от того, освещаем ли мы ее минуту или год.

Вторая крайность – в кастрюле ничего нет – тоже абсурдна. По крайней мере в первое мгновение, пока кванты не поглотились материалом кастрюли, там будет некоторое их количество. Но сколько? Интуитивно ожидается, что их там будет миллион-другой или, на худой конец, тысчонка; что число это тем больше, чем больше площадь дна кастрюли, и не зависит от ее высоты.

Подсказка состоит в том, что искомое число квантов определяется именно высотой.

В.

Решим сначала задачу для абсолютно черной кастрюли, которая все поглощает и ничего не отражает. Кванты, излучаемые самим сосудом, в расчет не принимаем (чтобы они не мешали, можно охладить кастрюлю до абсолютного нуля). Квант, падающий на дно, немедленно исчезает из нашей задачи (так как превращениями кванта внутри материала дна мы заниматься не будем). Следовательно, в сосуде будут захлопнуты только те кванты, которые успели проскочить крышку, но еще не достигли дна.

Свет проходит в секунду 300 000 км. Следовательно, два миллиарда квантов рассредоточены в объеме цилиндра, высота которого равна 300 000 км, а основанием является дно кастрюли.

Захлопывая кастрюлю, вы отсекаете от этого цилиндра маленький цилиндрик, высотой которого теперь является высота кастрюли. Пятнадцать сантиметров в 2 млрд раз меньше трехсот тысяч километров. Значит, и квантов в кастрюле будет в 2 млрд раз меньше, или всего... один квант*! Поразительно мало. А через одну двухмиллиардную секунды квант наверняка достигнет дна, и в кастрюле наступит темнота.

* Эта цифра верна только в среднем. Кванты в кастрюлю поступают беспорядочно; поэтому может получиться, что вы захлопнете в ней 0, 1, 2, 3 и т.д. квантов с вероятностью тем меньшей, чем больше число квантов.

Впрочем, чего другого можно было ожидать от абсолютно черной кастрюли? Еще до закрывания крышкой в ней не было видно ни зги, так как видеть что-либо можно только при условии, что этим предметом излучаются или отражаются световые кванты. Вот уж в абсолютно белом сосуде квантов будет полным-полно! Оказывается, нет! Возьмем для простоты кастрюлю с полированным дном, отражающим зеркально. Тогда в абсолютно белой* кастрюле квантов будет в среднем только вдвое больше, чем в абсолютно черной: к квантам, идущим в одну сторону, прибавится столько же, идущих после отражения в обратном направлении. Правда, существенно новым будет то обстоятельство, что если крышка тоже абсолютно белая, то эти два кванта будут существовать внутри вечно.

* Под абсолютно белой мы понимаем поверхность с коэффициентом отражения, строго равным единице.

Интересно, что абсолютно белую кастрюлю (с зеркальным дном) в условиях нашей задачи тоже увидеть невозможно. Стенки, не облучаемые потоком, перпендикулярным ко дну, выглядели бы черными. Сверкала бы только одна точка дна, от которой отраженные кванты попадают в глаз. Но для этого глаз нужно расположить на пути падающих лучей. При этом наблюдатель заслонил бы падающий свет и поэтому ничего бы не увидел (правда, если бы наблюдатель умудрился своей головой заслонить кастрюлю мгновенно, то к нему из кастрюли пришли бы два кванта, но вряд ли они попали бы ему в глаза, так как площадь щек и носа больше площади глаз). Для любого наблюдателя, находящегося в стороне, дно и стенки казались бы абсолютно черными.

Несколько больше квантов будет в белой матовой кастрюле: от матовой поверхности квант отражается куда придется, в том числе и на стенки, а от стенок тоже отражается в случайном направлении. Так он может путаться внутри довольно долго, пока случайно не выскочит из сосуда. Поскольку путь при этом удлиняется, то возрастает и его время пребывания внутри, а следовательно, и число квантов, одновременно пребывающих в кастрюле и захлопываемых там.

На рис. 141 показана судьба одного из квантов, пришедшего по прямой AB. Векторы, исходящие из точки B, в некотором масштабе показывают вероятность отражения кванта по разным направлениям в случае матовой поверхности. Дальнейший путь кванта случаен. Например, он может уйти из сосуда после трех отражений в точках B, C и D.

Рис. 141. Как ведут себя кванты в кастрюле

Нетрудно представить сложности вычисления точного числа квантов внутри такого сосуда. Однако ориентировочно это число можно оценить по отношению площади поверхности кастрюли к площади отверстия: именно этим отношением определяется вероятность ухода кванта из сосуда (для шарообразного сосуда это было бы точнее, чем для цилиндрического). Вероятнее всего, что в этой кастрюле удастся захлопнуть 1...7 квантов: 0...2 прямых и 1...5 отраженных.

Отметим в заключение, что 2 млрд квантов в секунду – это слишком малая величина. Освещенность, создаваемая ими в нашей кастрюле, в 20 раз слабее освещенности, создаваемой звездным безлунным небом. Полная Луна посылала бы в кастрюлю около 2·10¹³ квантов в секунду.

• Задача 93. Пополам не делится

• Оглавление

Дата публикации:

6 марта 2005 года