N-T.ru / Раритетные издания / Пётр Маковецкий |
Задача 93. Пополам не делитсяПётр Маковецкий. Смотри в корень! Сборник любопытных задач и вопросов А.Пустотелый шар с внутренним диаметром 1 мм, абсолютно белый внутри, с абсолютно прозрачным воздухом, заполнен светом (с длиной волны λ = 0,555 мкм) так, что освещенность внутри равна 0,2 лк (такую освещенность создает полная Луна). Сколько квантов надо убрать, чтобы освещенность внутри шара упала вдвое? Б.Конечно, нужно убрать половину всего числа квантов. Но соль не в этом, а в том, сколько именно. Надо вычислить, сколько их там всего, и разделить пополам. Напомним данные, необходимые для расчета. Один люкс это один люмен на квадратный метр. Один ватт лучистой энергии на волне 0,555 мкм равен 683 лм светового потока. Энергия ε одного кванта равна произведению частоты v на постоянную Планка h, ε = hv, где h = 6,6·1027 эрг/Гц = 6,6·1034 Дж/Гц, v = c / λ = 3·108 / (0,555·106) = 5,4·1014 Гц. В.Итак, надо определить число квантов внутри шара. Энергия одного кванта ε = hv = (6,6·1034)·(5,4·1014) ≈ 3,6·1019 Дж. Освещенность в один люкс свяжем с джоулями: E = 1 лк = 1 лм/м2 = 1 / 683 Вт/м2 = 1 / 683 Дж/(с·м2). Эта освещенность дает n квантов в секунду на квадратный метр, n = E / ε = 1 / (683·3,6·1019) = 4·1015 с1·м2. При E1 = 0,2 лк n1 = 8·1014 с1·м2 = 8·1010 с1·см2. Теперь подойдем к задаче с другого конца. В абсолютно белом шаре поглощение отсутствует, все кванты отражаются. Найдем, сколько раз в секунду отразится внутри нашего шара один квант, если он бегает вдоль диаметра шара. Для этого скорость кванта следует разделить на этот диаметр: m = c / d = (3·1011 мм/с) / 1 мм = 3·1011 с1. Если учесть, что в случае матовой поверхности квант отражается в самых произвольных направлениях, то число отражений будет еще больше: всякая хорда короче диаметра, время пролета по хорде меньше, чем по диаметру. Следовательно, вычисленное нами m это минимально возможное число ударов кванта в секунду о внутреннюю поверхность шара. Чтобы не осложнять себе расчетов, удовлетворимся этим числом, памятуя, что на самом деле оно несколько больше. Сколько же раз в секунду наш одиночный квант падает на квадратный сантиметр поверхности? Внутренняя поверхность шара равна S = 4πr2 = πd2 = 3,14·0,12 = 0,0314 см2. Искомое число n2 = m / S = 3·1011 / 0,0314 = 1013 с1·см2. Сравнив n2 и n1, мы обнаруживаем, что n2 / n1 = 1013 / 8·1010 = 125, т.е. квант попадает каждую секунду на каждый квадратный сантиметр поверхности в 125 раз чаще, чем это требуется для создания освещенности в 0,2 лк. Значит, один квант внутри нашего шара создаст освещенность в 125 раз бóльшую, чем полная Луна! 25 лк! Причем не на мгновение, не на час, а на вечность. Это как раз та освещенность, при которой мы обычно читаем книгу вечером за письменным столом. Этот результат настолько неожидан, что хочется еще раз проверить расчеты: уж не ошиблись ли мы? И автор несколько раз это делал, но так и не нашел ошибки (в расчете!). Поэтому он вынужден смириться с этим парадоксом, но вас к этому не принуждает. Считайте сами! Оставляя вопрос о том, можно ли читать с помощью одного-единственного кванта, на будущее, вернемся к условию задачи. Итак, для того чтобы внутри шара освещенность равнялась 0,2 лк, нужно, чтобы там было всего лишь 1/125 кванта. Но квант может быть только целым. Значит, такая освещенность невозможна! Тем более невозможно уменьшить ее вдвое. Выходит, что освещенность внутри шара может быть либо нуль (полная темнота), либо 25 лк (один квант), либо 50 лк (два кванта) и т.д. Промежуточные градации невозможны. Причем при освещенности 25 лк свет в шаре может быть только цветным (в нашем случае желтым), но не белым: белый свет представляет собой смесь многих цветов и требует для своего создания по крайней мере трех разноцветных квантов, что даст освещенность больше 25 лк. Поистине прав Прутков, воскликнувший однажды: «Глядя на мир, нельзя не удивляться!»
Задача 94. Внутри футбольного мяча |
Дата публикации: 27 августа 2005 года |
|