Магия запутанных состояний и современная физика

Сергей Доронин

2. Магия предметного мира

2.1. Предварительные замечания

Несмотря на то, что теория запутанных состояний и теория декогеренции дают ответ на некоторые фундаментальные вопросы естествознания и открывают путь к расширенному восприятию реальности, хорошо было бы подумать об использовании новых теоретических знаний в знакомом нам предметном мире. Например, направить усилия на создание принципиально новых технических устройств, пока еще «магических» для большинства из нас, попытаться перевести их из разряда магических в разряд практически реализуемых с научной точки зрения.

Здесь открываются широчайшие перспективы для научных исследований. Осмелюсь предложить вашему вниманию свои соображения на этот счет.

Можно попытаться построить теоретическую модель, которая бы ухватила основные особенности запутанных состояний и открыла возможность их практического применения в предметном мире.

Об одностороннем характере нашего обычного восприятия мы уже упоминали. Следствием этого является преобладание научных дисциплин, изучающих локальные объекты. В физике, чаще всего, теоретическими объектами вообще являются материальные точки. Таким образом, намечается первый шаг – по аналогии с принципом дополнительности Бора [31], широко используемом в микромире, локальное описание объектов необходимо дополнить нелокальным описанием. Это позволит нам ввести в рассмотрение запутанные состояния, как существенно нелокальный ресурс.

Здесь возникает другой вопрос, имеют ли современная физика и математика в своем распоряжении необходимые подходы и методы для такого описания.

Сразу стоит отметить, что нам не помогут ни механика Ньютона, ни теория относительности Эйнштейна, поскольку они имеют дело с материальными точками.

Эйнштейн [32] об общей теории относительности писал: «Задача последней заключается в однозначном описании движения точки в пространстве и времени без использования вспомогательного понятия отклоняющей силы».

Можно лишь рассчитывать на те разделы физики, которые изучают непрерывные среды и полевые объекты. Разумеется, придется широко использовать современный математический аппарат и методы статистической физики, квантовой механики, классической и квантовой теории поля, но безотносительно их применения к микрочастицам. К сожалению, большую часть этих теорий составляют практические задачи, описывающие поведение частиц, а изложение теоретических основ умещается лишь на нескольких страницах, но ценность самих подходов все равно несомненна. Из математических инструментов можно взять на заметку современные методы дифференциальной геометрии, способные в терминах дифференциальных форм в наиболее общем виде описывать непрерывное распределение физических величин. К сожалению, в настоящее время еще сильно предубеждение, что физические законы можно записать только на основе точечной дискретизации протяженного объекта, поскольку часто считается, что только в этом случае можно ввести понятие «дифференциала», как бесконечно малого изменения некоторой функции точки, соответствующее бесконечно малому смещению самой точки (формализм Ньютона). Поэтому обычно под физическим законом понимают его координатное представление. Внешнее исчисление обобщает понятие дифференциала и дает его более строгое определение в терминах «внешней производной» (дифференциальной формы), уже не связанное со смещением точки. В этом случае роль элементарных объектов выполняют «события», единственное требование к которым заключается в их идентифицируемости по произвольному параметру, (например, «по запаху» – шутка, но она отражает суть дела). Простейшей ковариантной производной является градиент, понимаемый как 1-дифференциальная форма. Физические законы, записанные в терминах дифференциальных форм имеют более общий характер, они справедливы для пространств любой размерности, с произвольной метрикой и даже вовсе без метрики. Эти законы записываются на языке свободном от координатных представлений, как это и принято, согласно «принципу всеобщей ковариантности». Такой подход позволяет записывать физические законы для нелокальных объектов. Чуть дальше мы более подробно остановимся на этом вопросе (см. п. 2.3 и Приложение А).

2.2. Построение физической модели

В квантовой механике доказывается, что систему взаимодействующих частиц можно описать с помощью некоторого квантового поля. При этом принято каждому виду взаимодействия ставить в соответствие свое квантовое поле [33, 34]. По современным представлениям квантовое поле является наиболее фундаментальной и универсальной формой материи, лежащей в основе всех ее физических проявлений (как волновых, так и корпускулярных) [34]. Однако, несмотря на такую универсальность, концепция квантового поля в настоящее время используется только в физической теории микромира. Причины, мешающие расширению понятия квантового поля на макроскопические объекты, носят принципиальный характер. Суть этих затруднений заключается в следующем. Если квантовое поле является свободным, т.е. не испытывающим никаких взаимодействий, в том числе и самовоздействия, то его можно рассматривать как совокупность невзаимодействующих квантов этого поля. При наличии взаимодействий, например, между полями различных типов, независимость квантов утрачивается. В том случае, когда взаимодействия начинают играть доминирующую роль в динамике полей, утрачивается и плодотворность самого введения квантов этих полей. Поскольку с точки зрения квантовой теории поля все тела являются сложными многоуровневыми системами с практически бесконечным числом взаимодействующих квантовых полей, это делает невозможным их описание методами, применяемыми в данной теории. Но для нас это не является неодолимым препятствием, поскольку мы не стремимся к чисто предметному описанию, и понятие кванта поля уже не является обязательным, наоборот мы хотим от него отойти.

Для начала можно попытаться воспользоваться методами статистической физики, хорошо зарекомендовавшими себя в аналогичной ситуации при описании свойств макроскопических тел, моделируемых совокупностью большого числа взаимодействующих атомов или молекул. Есть все основания надеяться, что подобно тому, как свойства макроскопических тел имеют качественное отличие от свойств, составляющих их частиц, так и квантовые поля макроскопических объектов имеют свои качественные особенности, отличающиеся от квантовых полей микрочастиц.

Справедливости ради следует отметить, что, статистические методы широко используются в квантовой теории поля, см., например, [35]. Однако все они основаны на связи между уровнями энергии системы и числом частиц (на распределении Гиббса, которое устанавливает вероятность нахождения подсистемы в состоянии с энергией E_nN и числом частиц N [35]), т.е. опять все замыкается на частицы, от чего мы хотим уйти. Необходимо действовать иначе. Попробуем рассуждать следующим образом.

Рассмотрим пока в привычном представлении произвольную систему взаимодействующих частиц (например, твердое тело). Полную внутреннюю энергию тела, в соответствии с качественно различными типами взаимодействия, принято разделять на энергию межмолекулярных взаимодействий, энергию молекул, а также внутриатомную и ядерную энергию. Энергия самих молекул (атомов), в свою очередь, делится на электронную, колебательную и вращательную части, из них каждая следующая мала по сравнению с предыдущей [36]. Кроме того, различают несколько типов взаимодействия частиц, зависящих от их спинов: обменное взаимодействие, связанное с возможностью перестановки одинаковых частиц; спин-орбитальное взаимодействие, происходящее от релятивистского взаимодействия движущегося магнитного момента с электрическими полями; непосредственное магнитное взаимодействие моментов. Обменное взаимодействие обычно значительно превышает остальные два [35].

Каждому из указанных выше взаимодействий соответствует свое квантовое поле. Таким образом, произвольный объект можно рассматривать как многоуровневую систему квантовых полей. Очевидно, что все эти поля сложным образом взаимодействуют друг с другом. В результате такого взаимодействия образуется единое квантовое поле объекта. Данное поле содержит в себе помимо локальных составляющих, вызванных сильными близкодействующими внутриядерными взаимодействиями, нелокальные дальнодействующие поля и является наиболее полной характеристикой объекта, определяя не только его внутреннюю структуру, но и взаимодействие с другими, в том числе удаленными, объектами. Иными словами, в терминах релятивистской механики, энергетическая характеристика реального тела наряду с локальной энергией покоя частиц, входящих в состав тела, содержит нелокальную, дальнодействующую составляющую энергии физических полей, связанных с микроскопическим движением частиц и энергий их взаимодействия [38].

Для изучения закономерностей, которым подчиняются поведение и свойства объектов, моделируемых таким образом, попытаемся воспользоваться методами статистической физики. Для обоснования возможности применения этих методов, рассмотрим основные принципы квантовой статистики.

В соответствии с подходом, принятым в статистической физике [37] в рассматриваемом объекте обычно выделяется достаточно малая, но еще макроскопическая подсистема. Она не является замкнутой, и испытывает всевозможные воздействия со стороны остальных частей системы. Однако, именно в силу сложности и запутанности внешних воздействий со стороны, выделенная подсистема за достаточно большое время побывает достаточно много раз во всех возможных своих состояниях. Поэтому появляется возможность ввести понятие вероятности p нахождения подсистемы в некотором состоянии, как предел отношения Δt к T, при T → ∞, где Δt – та часть полного времени T, в течение которого подсистема находилась в данном состоянии.

Имея в виду «почти непрерывность» энергетического спектра макроскопических тел, обычно вводится квантовый аналог классического элемента фазового объема – число квантовых состояний dΓ замкнутой системы, приходящихся на определенный бесконечно малый интервал значений ее энергии. Тогда вероятность состояний, лежащих в данном интервале энергии, записывают в виде dp = ρ·dΓ. Функция ρ, в аналогичном выражении классической статистики, характеризует плотность распределения вероятности в фазовом пространстве и называется функцией статистического распределения (или просто функцией распределения) данного тела. В квантовой статистике ее заменяет матрица плотности в энергетическом представлении (статистическая матрица). Нахождение статистического распределения и является основной задачей статистики, поскольку знание матрицы плотности позволяет вычислять среднее значение любой величины, характеризующей систему, а также вероятности различных значений этих величин.

Матрица плотности в энергетическом представлении вводится следующим образом [37]. Выделенная нами подсистема на протяжении малого промежутка времени является квазизамкнутой, поскольку ее внутренняя энергия намного больше энергии взаимодействия с другими подсистемами. Поэтому появляется возможность ввести понятие стационарных состояний, которые получаются при полном пренебрежении всеми взаимодействиями данной подсистемы с окружающими частями замкнутой системы. Обозначим через φ_n(q) полный набор ортонормированных волновых функций этих состояний, где q условно обозначает совокупность всех координат подсистемы, а индекс n – совокупность всех квантовых чисел, отличающих различные стационарные состояния с энергией E_n. Предположим, что в данный момент времени подсистема находится в некотором полно описанном состоянии с волновой функцией Ψ. Ее можно разложить по функциям φ_n(q) и с их помощью найти среднее значение любой физической величины. Переход од полного описания подсистемы к неполному, осуществляемому посредством матрицы плотности, можно рассматривать как усреднение по ее различным Ψ состояниям. В результате такого усреднения получаем двойной (по двум индексам) набор некоторых величин ρ_nm, которые и являются элементами матрицы плотности в энергетическом представлении.

Вероятность нахождения подсистемы в n-м состоянии будет равна соответствующему диагональному элементу ρ_nn матрицы плотности. Дальнейшие рассуждения позволяют сделать вывод, что исходное требование статистической независимости подсистем, эквивалентно требованию диагональности матрицы ρ_nm, или, точнее, по мере уменьшения роли взаимодействий подсистем друг с другом, недиагональные элементы матрицы плотности стремятся к нулю. Задача об определении статистического распределения, таким образом, сводится к вычислению вероятностей ρ_n = ρ_nn.

В квантовой статистике доказывается еще одно важное утверждение, что статистическое состояние системы зависит только от ее энергии, и вероятности ρ_n могут быть выражены в виде функции только от величины уровня энергии ρ_n = ρ·(E_n).

Таким образом, квантовая статистика позволяет в принципе, исходя из одной только энергетической характеристики объекта, вычислять среднее значение любой величины, характеризующей систему, а также вероятности различных значений этих величин.

Мы видим, что основным условием применимости методов квантовой статистики является наличие у макроскопического объекта «почти непрерывного» энергетического спектра. Этому условию удовлетворяют не только тела, описываемые системой взаимодействующих частиц, но и объекты, в более общем случае, моделируемые системой квантовых полей. При этом появляется возможность описать не только внутренние свойства макроскопических объектов (свести к предыдущей задаче, с частицами в виде локальных полей), но и описать взаимодействие отдельных тел, поскольку каждое из них будет обладать нелокальными макроскопическими характеристиками, связанными с наличием дальнодействующих полей.

Чтобы сделать очередной шаг, связывающий статистическую физику и квантовую теорию поля, воспользуемся понятием статистического равновесия, принятым в статистической физике [37]. Если замкнутая макроскопическая система находится в таком состоянии, при котором среднее значение полной энергии произвольной подсистемы и самой системы в целом имеют минимальное значение, то говорят, что система находится в состоянии статистического равновесия. Это утверждение является следствием того обстоятельства, что замкнутая система, при достаточно большом времени наблюдения находиться в состоянии, при котором макроскопические физические величины с большой относительной точностью равны своим средним значениям. Если в начальный момент времени система не находилась в состоянии статистического равновесия (например, испытывала внешнее воздействие, после чего вновь стала замкнутой), то в дальнейшем она должна перейти в состояние равновесия. Промежуток времени, в течение которого происходит переход к статистическому равновесию, называется временем релаксации. Говоря о достаточно большом времени наблюдения, имеются в виду времена, большие по сравнению со временем релаксации.

Данное определение статистического равновесия системы (наличие минимума энергии) устанавливает непосредственную связь между статистической физикой и квантовой теорией поля, поскольку позволяет воспользоваться основополагающим принципом, лежащим в основе теории поля (в том числе и квантового). Это так называемый принцип наименьшего действия (лагранжев формализм) [34, 38]. Он заключается в том, что произвольному объекту ставится в соответствие интеграл D, называемый действием, который имеет минимум и вариация которого δD, следовательно, равна нулю. Важность этого понятия обусловлена тем, что действие D определяет физически наблюдаемые свойства системы. Исходя из этого принципа, получают все основные уравнения, характеризующие систему. Например, для системы, состоящей из объекта и внешнего поля, при нахождении уравнения поля из принципа наименьшего действия считается заданным движение объекта в этом поле, и варьируются потенциалы поля, играющие здесь роль «координат» системы. При нахождении уравнения движения объекта, считается заданным поле и варьируется траектория объекта [38].

Действие обычно записывают в виде интеграла по времени от функции Лагранжа L(t). Функция Лагранжа является функцией времени, зависит от динамических переменных системы и в механике записывается в виде суммы по всем составным частям системы. В случае непрерывной системы типа волнового поля эта сумма заменяется пространственным интегралом от плотности функции Лагранжа L'(x), которая называется лагранжианом [34], (под пространством здесь понимается пространство событий Минковского – четырехмерное пространство-время с элементом объема dx = dx⁰dx¹dx²dx³ = cdtdx.) Поэтому, в теории поля (как классической, так и квантовой) основную роль играет не функция Лагранжа L(t), а лагранжиан L'(x).

Если быть более точным, пространством Минковского называется псевдоевклидово пространство четырех измерений с сигнатурой (– + + +) или (+ – – –). Т.е. квадраты составляющих четырехмерного вектора на временную и пространственные оси имеют разные знаки (такая геометрия называется псевдоевклидовой, в отличие от евклидовой геометрии, в которой квадрат расстояния между точками определяется суммой квадратов составляющих вектора, соединяющего точки, на соответствующие оси). Вследствие этого четырехмерный вектор с отличными от нуля составляющими может иметь нулевую длину.

Таким образом, мы показали, что к нашей модели применим указанный формализм, как статистической физики, так и теории поля (в том числе квантовой). Отсюда естественная преемственность между предложенным подходом и существующим научным описанием предметного мира, на которое мы вовсе не покушаемся, а лишь добавляем дополнительным нелокальным описанием.

Перейдем теперь к более конкретной формулировке модели.

Разобьем весь энергетический спектр рассматриваемой системы E_n на интервалы в соответствии с различными видами энергий взаимодействия, указанными выше. Они могут и «накладываться» друг на друга, если это энергии одного порядка (например, для жидкостей энергия взаимодействия молекул примерно равна энергии их колебательного движения). Выделенные интервалы представляют собой полевые объекты, отличающиеся между собой, прежде всего, средним значением плотности энергии, и обычно отделены друг от друга, так называемыми, энергетическими щелями. Полная внутренняя энергия системы в этом случае будет равна сумме энергий выделенных слоев, а также энергий их взаимодействия между собой. Таким образом, произвольный объект мы моделируем совокупностью совмещенных энергетических структур с качественно различными физическими характеристиками. Каждый из выделенных энергетических интервалов по-прежнему является «почти непрерывным», имеет равновесное состояние с минимумом энергии, и к каждому из них можно применить уже изложенный формализм. Мы получаем возможность рассчитать значения физических величин и вывести уравнения движения, не только для системы в целом, но и для каждой ее составляющей энергетической структуры в отдельности. Следовательно, мы можем описать объекты, не имеющие предметного воплощения, которые состоят только из менее плотных энергетических составляющих. Можем также описывать взаимодействие этих составляющих структур между собой и учитывать их взаимное влияние друг на друга.

Чтобы здесь не возникло недоразумений, напомню, что мы исходим из непрерывного описания реальности, т.е. исходным понятием является понятие поля, в котором нет никаких частиц. В этом случае различные энергии взаимодействия, о которых мы говорим, нельзя рассматривать только как результат взаимодействия частиц между собой и делать вывод, что без частиц эти энергетические структуры не существуют. Согласно квантовой теории поля, необходимо говорить не о том, что различные энергии взаимодействия возникают при объединении отдельных частиц в единую систему, а наоборот, сами частицы появляются как один из возможных результатов взаимодействия непрерывных энергетических структур с измерительным прибором (в частности, наблюдателем). В этом отношении термин «энергия взаимодействия» не совсем удачный, но мы используем его, чтобы было понятно, о чем идет речь и для того, чтобы согласовать предложенный подход с общепринятым описанием предметного мира.

Такой процесс «проявления» частиц из непрерывных полевых структур имеет четкий физический смысл, достаточно подробно формализован и является одним из наиболее важных разделов квантовой теории поля. Обычно он называется вторичным квантованием полей. Хотя некоторые авторы стараются избегать этого термина, например, Н.Н. Боголюбов [34] говорит просто о квантовании полей и пишет, что «термин «вторичный» как бы подразумевает наличие первичного квантования. На самом деле квантование проводится только один раз, и этот термин оказывается дезориентирующим».

Термин «вторичный» отражает лишь историческую последовательность событий при развитии физики. Поскольку исторически первыми были представления о предметном характере окружающего мира, сначала был осуществлен переход частица → волновое поле, который впоследствии был назван первичным квантованием. Лишь затем выполнен переход волновое поле → частица, т.е. вторичное квантование.

В настоящее время ученые (особенно те, кто работают в области квантовой теории поля) достаточно отчетливо понимают, что одностороннего, предметного описания реальности недостаточно для полноценной характеристики объектов. Например, Х. Хакен [39], в «Квантовополевой теории твердого тела», говорит: «Как при первичном, так и при вторичном квантовании понятие частицы не коим образом не заменяется полностью понятием поля и понятие поля никоим образом не заменяется понятием частицы. Более того, появляется новое двойственное представление: в зависимости от экспериментальных условий (в частном случае, при нашем восприятии окружающего мира – Прим. автора) проявляется либо корпускулярный, либо волновой характер поля».

Однако продолжим построение модели. Ситуация, когда физический объект моделируется совокупностью совмещенных энергетических структур, является не совсем обычной, поскольку в каждой точке мы имеем несколько наборов физических величин, относящихся каждый к своей структуре. Подобная ситуация с успехом разрешается в механике сплошной среды при описании многофазных сред. Делается это при помощи введения понятия многоскоростного континуума [40], который представляет собой совокупность континуумов, каждый из которых относится к своей составляющей компоненте и характеризуется собственным набором физических характеристик. Таким образом, как это и принято, мы имеем возможность осуществить предельный переход от квантового описания системы взаимодействующих полей, к классическому описанию взаимодействующих континуумов.

Еще один момент, на который следует обратить внимание, заключается в следующем. Мы можем предположить, что каждый из континуумов, т.е. каждая энергетическая структура, имеет собственную метрику пространства событий, зависящую, например, от средней плотности энергии соответствующей структуры, т.е. каждая составляющая находится в собственном пространстве событий и в различной степени запутанности в соответствии со своими физическими характеристиками. Это предположение вполне обосновано, поскольку согласно теории декогеренции степень классичности объекта зависит от количества информации, которая в нем «записывается» при взаимодействии с окружением, очевидно, что на носителях имеющих различную плотностью можно записать разное количество информации.

Метрика определяет геометрические свойства четырехмерного пространства-времени и характеризуется инвариантной (не зависящей от системы отсчета) величиной – квадратом четырехмерного интервала, определяющим пространственно-временную связь (квадрат «расстояния») между двумя бесконечно близкими событиями.

В соответствии с теми практическими задачами, на решение которых модель направлена, возможны разные степени ее приближения к реальной ситуации. В наиболее простом случае нулевого приближения, можно считать одинаковой метрику всех составляющих структур и не учитывать взаимодействие между ними. Далее, усложняя задачи и, соответственно, модель, можно постепенно включать взаимодействие, различие в метриках и степени запутанности.

2.3. Уравнения движения в энергетическом представлении

Попытаемся теперь на конкретном примере продемонстрировать какую дополнительную научную информацию мы можем получить, используя предложенный подход.

Рассмотрим уравнение движения для произвольного объекта. Его легко получить на основе упомянутого выше лагранжева формализма, используя наиболее общий подход, который применяется при выводе тензора энергии-импульса произвольной системы [38].

Напомню, что уравнение движения получают согласно принципу наименьшего действия путем варьирования D, и оно имеет вид [38]:

Равенство нулю дивергенции (1), означает, что сохраняется интеграл от тензора по гиперповерхности пространства. Этот тензор Т с компонентами T^jl (j, l = 0, 1, 2, 3) называется тензором энергии-импульса системы. Он определен неоднозначно, а только с точностью до градиента произвольного антисимметричного тензора. Для его однозначного определения можно потребовать, чтобы существовала принятая в механике связь между импульсом и моментом импульса. В этом случае получаем дополнительное условие T^jl = T^jl, т.е. тензор энергии-импульса должен быть симметричен.

Как известно [38], компонента T⁰⁰ этого тензора характеризует плотность энергии. Вектор с компонентами T¹⁰/c, T²⁰/c, T³⁰/c есть плотностью импульса, а вектор с составляющими cT⁰¹, cT⁰², cT⁰³ – плотность потока энергии – количество энергии, протекающей в единицу времени через единицу поверхности. Ввиду симметричности тензора, мы имеем связь между потоком энергии и импульсом: плотность потока энергии равна плотности импульса, умноженной на c². Компоненты T^ik (i, k = 1, 2, 3) составляют трехмерный тензор плотности потока импульса. Взятые со знаком минус они образуют тензор напряжений. Плотность потока энергии есть вектор; плотность же потока импульса, который сам по себе вектор, должна быть тензором второго ранга.

Делается вывод [38], что скорость изменения энергии, находящейся в объеме V равна количеству энергии, протекающей через границу этого объема в единицу времени, и скорость изменения импульса системы в объеме V есть количество импульса, вытекающее в единицу времени из этого объема (см. уравнения (4), (5) чуть ниже).

На этом обычно заканчивается анализ уравнений движения произвольной системы, и далее используют различные приближения, чтобы упростить общий вид тензора энергии-импульса в конкретных частных задачах.

Однако уже в общем случае тензора энергии-импульса произвольной системы, нас не устраивает та часть интерпретации уравнений движения, в которой используется импульсное представление. Оно более подходит для описания локальных объектов, а в нашем случае непрерывных полевых структур предпочтительно использовать энергетическое представление. Поэтому сейчас мы постараемся от импульсной интерпретации перейти к энергетической и проанализируем уравнения движения уже в этих терминах.

Рассмотрим эти хорошо известные уравнения. Они получаются из (1) разделением на пространственные и временные производные [38]:

	(2)
	(3)

Эти уравнения затем интегрируются по некоторому произвольному объему пространства V, и применяется теорема Гаусса.

	(4)
	(5)

где интеграл справа берется по поверхности, охватывающей объем V (df₁, df₂, df₃ – компоненты трехмерного вектора элемента поверхности df).

Рассмотрим второе уравнение (5). Поскольку результаты, полученные при анализе этого уравнения, будут широко использоваться в дальнейшем, остановимся на нем более подробно.

Левая часть не вызывает вопросов, здесь стоит скорость изменения импульса в объеме V, т.е. сила, действующая на этот объем. А вот в правой части перейдем к энергетическому представлению и для этого воспользуемся аппаратом дифференциальной геометрии, теоретические основы которого можно почерпнуть из [41], а достаточно подробное применение этих методов в физике и, в частности к тензору энергии-импульса, хорошо изложено в [42].

Очень кратко напомним смысл основных понятий дифференциальной геометрии, которыми нам придется оперировать. Прежде всего, это касается еще одного геометрического объекта – «дифференциальная форма», который, наряду с другими хорошо известными геометрическими объектами (скаляр, вектор, тензор), описывает физические величины. В частности, более подробно рассмотрим понятие 1-формы.

Может возникнуть закономерный вопрос, зачем вообще нужны дифференциальные формы, и нельзя ли обойтись хорошо известными старыми понятиями? Чтобы ответить на этот вопрос можно привести следующий пример [42].

Рассмотрим привычное определение вектора 4-импульса p для частицы, например электрона, с массой m и вектором 4-скорости u, т.е. p = mu. Кроме этого, в физике известен и другой подход к понятию импульса, при котором каждой частице приписывается волна де Бройля. Эта волна имеет самый непосредственный физический смысл, ее дифракция на кристаллической решетке позволяет определить не только длину волны, но и ту конфигурацию в пространстве, которую образуют поверхности равных целочисленных значений фазы. Конфигурация этих поверхностей дает простейшую иллюстрацию, которую удается найти для 1-формы. Определив эти поверхности посредством выражения ћ × фаза, мы получим «1-форму импульса» p̃.

Посмотрим, что может нам дать такое представление импульса. Возьмем произвольный 4-вектор v. Он пересечет определенное число поверхностей целой фазы. Обозначим это число пересечений посредством выражения ‹p̃, v›. Как правило, начало и конец вектора v не лежат на поверхностях целочисленных фаз. Чтобы определить более точное значение числа пересечений (перейти от целого числа к вещественному), необходимо в этих позициях между соседними поверхностями целой фазы распределить бесконечное число поверхностей со всеми промежуточными значениями фазы. Далее, чтобы понятие 1-формы стало рабочим инструментом, нужно сделать еще один небольшой шаг. Необходимо трактовать 1-форму не как глобальную конфигурацию поверхностей уровня, а как некоторую аппроксимацию этих поверхностей в элементарном, бесконечно малом объеме в виде плоских поверхностей, расположенных на равных расстояниях друг от друга (линейное приближение). Плоские поверхности 1-формы в этом малом объеме дадут наилучшую линейную аппроксимацию искривленных поверхностей уровня, а сама 1-форма становится линейной функцией, и появляется возможность оперировать ей, как и любой другой функцией. Нетрудно убедиться, что совокупность всех 1-форм в данном событии (4-точке) образует векторное пространство в абстрактном, алгебраическом смысле этого понятия. Существует и взаимно однозначное соответствие между произвольным вектором n, и соответствующей ему 1-формой ñ в виде ‹ ñ, v› = n·v, т.е. число пересеченных поверхностей произвольным вектором v у некоторой 1-формы ñ, равно проекции вектора v на вектор n (точка обозначает скалярное произведение).

Таким образом, дифференциальная геометрия дает исследователю надежный математический формализм, позволяющий установить взаимно однозначное соответствие между локальным точечным описанием физических величин (импульс в данной точке в виде вектора) и нелокальным описанием (тот же импульс, но уже в объеме, окружающем эту точку в виде 1-формы). А значит, учитывая наши цели, необходимо поближе познакомиться с этим геометрическим объектом (небольшое дополнение см. в Приложении А).

Нам понадобится еще одно понятие дифференциальной геометрии. Это 1-форма объема. Достаточно будет ограничиться частным случаем этого понятия для трехмерного куба в системе отсчета, относительно которой он находится в покое. В этом случае 1-форма объема с 4-скоростью u и ребром L определяется [42] как ∑ = –Vu = L³dt в случае стандартной положительной ориентации u в прошлое (u = –dt), или в другом варианте ∑ = L²Δtdx. По своему геометрическому смыслу 1-форма объема представляет собой объем «заметаемый» со временем, либо за счет движения самого объема (первый вариант), либо за счет движения одной из его граней, например, площадки S_yz = L² в направлении x со скоростью u (второй вариант).

1-форма произвольного объема может быть проанализирована путем разбиения ее на введенные элементарные объемы.

Теперь мы имеем уже все необходимые понятия, чтобы сформулировать определение тензора энергии-импульса в терминах дифференциальных форм [42]: тензором энергии-импульса называется линейный оператор с двумя входными каналами, в один из которых вводится 1-форма объема ∑, а в другой произвольный вектор w или 1-форма σ, и в результате получается проекция 4-импульса на этот вектор или 1-форму соответственно, т.е.

Это определение позволяет легко получить компоненты тензора энергии импульса в чисто энергетическом представлении, поскольку проекция импульса p на 4-вектор скорости наблюдателя u, дает энергию, измеренную наблюдателем, взятую с обратным знаком, т.е. E = –u·p [42].

Пространственные компоненты T^ik из (5) можно интерпретировать, если рассмотреть двумерную грань 1-формы объема, положительная нормаль к которой направлена по k. За время Δt эта поверхность заметает 3-объем 1-форма которого равна ∑ = L²_┴k Δtdxk. Поместим наблюдателя на эту поверхность. В отличие от общепринятого подхода, когда наблюдатель неподвижно сидит на поверхности и измеряет проекции импульса, пересекающего площадку на направления единичных векторов в своей лоренцевой системе [42], мы заставим наблюдателя двигаться с некоторой скоростью u поочередно вдоль всех своих координатных осей. За время Δt он сканирует всю площадку, и прилегающий объем, отмечая происходящие изменения. Проецируя 4-импульс Δp, пересекающий поверхность, на свою скорость, наблюдатель получает информацию о распределении энергии в различных направлениях. На первый взгляд может показаться, что такой подход не имеет смысла, поскольку численное значение энергии, полученное наблюдателем, зависит от его собственной скорости, и результат измерения будет неоднозначным. Однако, как будет показано ниже, существует энергетическая характеристика, независящая от скорости наблюдателя и имеющая однозначный физический смысл.

Обозначим компоненты скорости наблюдателя через uⁱ = (∆xⁱ/∆t)e_i. Тогда компоненты T^ik можно определить из (6)

или в компонентных обозначениях,

Устремляя интервал времени к нулю, и, воспользовавшись определением градиента, получим

Отметим, что в отличие от величины энергии, зависящей от собственной скорости наблюдателя, значение градиента энергии ∇_iE уже не зависит от его скорости, поскольку одно и то же смещение координаты наблюдателя Δxⁱ входит как в числитель (в выражение скорости), так и в знаменатель. В этом результате нет ничего удивительного, если вспомнить, что по своему определению градиент является линейным оператором, физический смысл которого не зависит от системы отсчета. При этом не имеет значение, о какой энергии идет речь, либо о полной энергии, распределенной в рассматриваемом элементарном объеме, включающей энергию покоя m₀c², как это принято, например, в релятивистской механике, либо только о кинетической энергии, как принято в классической механике. Можно даже произвольно выбрать уровень отсчета энергии, исходя из каких-то иных соображений, значение градиента энергии при этом, как объективно существующей физической характеристики, не изменится. Для определенности будем считать, что речь идет о полной энергии, содержащейся в объеме. Можно рассматривать и более сложные ситуации, когда отдельные составляющие энергетической структуры имеют градиент энергии относительно других составляющих (возможно со своим градиентом), тогда записываются уравнения движения для каждой из них.

Сравнивая выражение (10) с обычной трактовкой пространственных компонент тензора энергии-импульса в терминах потока импульса, легко заметить, что справедливо покомпонентное тождество ∇_iE ≡ –Δp_i/Δt, связывающее энергетическое и импульсное представление компонент тензора энергии-импульса.

Еще более простой физический смысл имеет дивергенция от компонент тензора, стоящая в интеграле по объему в выражении (5). Устремляя исходный 3-объем к нулю и, имея при этом L²_┴k → ∂S_┴k, получим

т.е. получим i-компоненту градиента энергии, приходящуюся на единицу 3-объема, или i-компоненту объемной плотности градиента энергии.

Уравнения движения (5) теперь приобретают простой физический смысл: сила, действующая со стороны произвольного выделенного объема рассматриваемой системы, равна градиенту энергии во всем этом объеме, т.е.

Еще раз напомним, что физический смысл градиента не зависит от системы координат. В этом отношении используемый нами подход в терминах дифференциальных форм обладает тем преимуществом, что позволяет обобщить полученный результат. Используя вместо теоремы Гаусса ее обобщение во внешнем исчислении – обобщенную теорему Стокса, справедливую для пространств любой размерности, как с метрикой, так и без нее, обобщающей все формы теорем Стокса и Гаусса, мы получим выражение, аналогичное (12), но уже в терминах силы, как 1-формы. Это выражение будет справедливо уже в любой ситуации и будет иметь один и тот же физический смысл независимо от типа пространств и выбранных координатных представлений.

На основании этого можно сделать вывод, что основной инвариантной физической характеристикой объекта является плотность градиента энергии в его объеме.

Трактовка пространственных компонент тензора энергии-импульса в терминах градиента энергии и традиционное описание в терминах потока импульса эквивалентны. Каждое из них обладает своим преимуществом в зависимости от ситуации. Импульсное представление более удобно, когда система моделируется в виде совокупности материальных точек с сосредоточенными параметрами. Преимущества энергетического представления тензора энергии-импульса проявляются в тех случаях, когда рассматриваемая система описывается непрерывными физическими величинами, либо когда отдельный объект нельзя рассматривать в виде материальной точки, а необходимо учитывать пространственное распределение физических величин, характеризующих данный объект. Нас, прежде всего, интересует вторая ситуация.

В этом случае непосредственно из уравнения (12) последовательно вытекает ряд очевидных следствий. Кратко можно обозначить лишь некоторые, наиболее существенные из них.

1. Свободный объект (при отсутствии внешних воздействий) может находиться в покое или двигаться равномерно и прямолинейно только при нулевом значении градиента энергии во всем объеме рассматриваемого объекта.
2. Из линейности тензора энергии-импульса (как линейного оператора) следует, что любая внешняя сила, действующая на объект, характеризуется соответствующим ей градиентом энергии внутри тела, т.е. произвольный объект (как свободный, так и находящийся под внешним воздействием), двигающийся с ускорением, имеет в своем объеме соответствующий этому ускорению градиент энергии.
3. Ускорение тела есть процесс перехода в состояние с равновесным распределением энергии, «выравнивание» градиента энергии в своем объеме за счет ускоренного движения. Во внешнем градиентном поле объект всегда будет двигаться с ускорением.
4. Из уравнения (12) и предыдущих рассуждений следует разумное объяснение физической природы гравитации. Для этого достаточно лишь отказаться от моделирования физических тел в виде материальных точек, как это принято в механике Ньютона и общей теории относительности, и учесть распределение энергии в объеме реального объекта. Исходя из определения равновесного состояния свободного тела, силы тяготения естественным образом объясняются нарушением равновесного распределения энергии, и возникновением градиента энергии у каждого из тяготеющих тел в результате взаимного воздействия дальнодействующих энергетических составляющих. С данной точки зрения гравитационное поле объекта характеризуется градиентом среднего значения энергий различных нелокальных физических полей в системе, и нет смысла искать, например, кванты гравитационного поля. Для тел, моделируемых материальными точками, такое объяснение гравитации уже неприменимо.
5. С предыдущим вопросом тесно связан вопрос об инертности тела и силах инерции. Дополняя определение равновесного состояния тела принятым в статистической физике понятием релаксации системы, инертность тела можно сопоставить с процессом возникновения или релаксации градиентов энергии при нарушении равновесного состояния системы. Силы инерции согласно общему выражению (12) можно определить как градиенты энергии, связанные с неинерциальными системами отсчета. Таким образом, решается вопрос об эквивалентности сил инерции и тяготения. Они неотличимы друг от друга, т.к. в их основе лежит одна и та же физическая природа – градиент энергии в объеме тела.
6. Исходя из общего характера уравнения (12), можно сформулировать и более сильное утверждение о том, что любая физическая сила в природе обусловлена наличием градиента энергии в рассматриваемой системе.
7. Уравнение (12) может стать теоретической основой, позволяющей с единых позиций рассмотреть все многообразие процессов и явлений, изучаемых в различных разделах физики и других естественных науках. Открывается возможность взаимной интеграции многочисленных теорий и получения новых количественных соотношений, связывающих эти процессы.

Например, к понятию электрического заряда можно подойти с точки зрения нарушения равновесного состояния системы. Отрицательный заряд при этом соответствует избытку энергии, а положительный – недостатку. Появляется возможность в едином ключе рассматривать электродинамические и механические процессы.

Первые пять следствий сформулированы для объекта, рассматриваемого как единое целое, однако уравнение (12) справедливо для произвольного объема рассматриваемой системы и на его основе можно описывать движение составных частей системы относительно друг друга.

2.4. Несколько слов о гравитации

Как один из промежуточных результатов (следствие 4 из уравнения (12)) мы получили решение вопроса о гравитации. В силу достаточно большого внимания к этой проблеме предметного мира, кратко на ней остановимся.

Напомним, что говорил А. Эйнштейн о своем знаменитом уравнении гравитационного поля [32].

1. Понятие материальной точки и ее массы сохраняется. Формулируется закон ее движения, являющийся переводом закона инерции на язык общей теории относительности. Этот закон представляет собой систему уравнений в полных производных, характеризующей геодезическую линию.

2. Вместо ньютоновского закона гравитационного взаимодействия, мы найдем систему наиболее простых общековариантных дифференциальных уравнений, которую можно установить для тензора g_μν. Она образуется сведением к нулю однократно свернутого тензора кривизны Римана (R_μν = 0). (g_μν – ковариантный метрический тензор, определяет все свойства геометрии в каждой данной криволинейной системе координат, устанавливает метрику пространства-времени)

Эта формулировка позволяет рассматривать проблему планет. Точнее говоря, она позволяет рассматривать проблему движения материальных точек с практически пренебрегаемой массой в поле тяготения, образованном материальной точкой, которую предполагают не обладающей никаким движением (центральная симметрия). Она не учитывает реакции материальных точек, «движущихся» в гравитационном поле, и не принимает во внимание, каким образом центральная масса образует это поле.

Аналогия с классической механикой показывает, что теорию можно дополнить следующим образом.

Возьмем уравнение поля

R_jk – 0,5g_jkR = (8πG/c⁴)T_jk

где R обозначает скаляр римановой кривизны, T_jk – тензор энергии материи в феноменологическом представлении. Левая часть уравнения выбрана таким образом, что ее дивергенция тождественно равна нулю... При такой формулировке вся механика тяготения сведена к решению одной системы ковариантных уравнений в частных производных. Эта теория избегает всех внутренних противоречий, в которых мы упрекали классическую механику. Она достаточна, насколько мы знаем, для выражения наблюдаемых фактов небесной механики. Но она похожа на здание, одно крыло которого сделано из изящного мрамора (левая часть уравнения), а другое – из плохого дерева (правая часть уравнения). Феноменологическое представление материи лишь очень несовершенно заменяет такое представление, которое соответствовало бы всем известным свойствам материи.

Как мы теперь понимаем, А. Эйнштейн действительно оказался в затруднительном положении. Гравитация связана с распределением энергии в объеме самих объектов, (включая дальнодействующие составляющие), а необходимо было «привязать» это понятие к материальным точкам, которые по определению не имеют никакой внутренней структуры. И он нашел очень изящный и красивый способ выхода из этой ситуации. Распределение энергии реальных объектов А. Эйнштейн заменил эквивалентным математическим описанием искривления пространства-времени вокруг материальной точки. Именно эта формальная связь между распределением энергии (тензором энергии-импульса) и геометрией пространства (тензором кривизны Римана) заключена в приведенном выше уравнении поля. Такой подход позволяет получить правильные предсказания в результате наблюдений, однако физическая природа гравитации остается непонятой. Отсюда и те вопросы, которые возникли практически сразу после опубликования его теории и которые к настоящему времени так и остались неразрешенными. В 1918 г. Э. Шредингер первым показал, что соответствующим выбором системы координат все компоненты, характеризующие энергию-импульс гравитационного поля в трактовке А. Эйнштейна, можно обратить в нуль [43]. И в современных учебниках, например у Л.Д. Ландау [38], мы можем прочитать то же самое: «Подходящим выбором координат можно «уничтожить» гравитационное поле в данном элементе объема». «Таким образом, во всяком случае, не имеет смысла говорить об определенной локализации энергии гравитационного поля в пространстве». Это и понятно, абстрактный математический объект «кривизна», не может содержать в себе энергию. Гравитационное поле из физического объекта окончательно превратилось в математическую абстракцию, поскольку со сжатием объекта в точку, исчезла и физическая основа явления.

Поэтому физика и испытывала затруднения при объяснении очевидных антигравитационных эффектов. Начиная от классического примера – хождение Иисуса по морю (...пошел к ним Иисус, идя по морю. И ученики, увидев Его идущего по морю, встревожились и говорили: это призрак; и от страха вскричали. [Мат. 14, 25]), и далее, в многочисленных последующих (более трехсот) случаях левитации святых отцов, документально засвидетельствованных в церковной литературе (например, только в России обладали такими способностями Иоанн Новгородский, Василий Блаженный, блаженный Симон, игуменья Епраксия, Серафим Саровский и др.).

Предложенный подход дает довольно простое объяснение указанным явлениям. Сознание человека в состоянии управлять распределением энергии, и, создавая градиент энергии в своем теле, человек способен перемещаться, в зависимости от направления градиента и его величины. Напомню, что дополнительный градиент энергии в теле означает появление дополнительной силы, действующей на тело.

Каждый, кто хотя бы в начальной степени умеет управлять распределением энергии в своем теле (практические рекомендации на этот счет будут даны в одном из последующих разделах), в состоянии самостоятельно убедиться в справедливости сделанных выводов. Для этого достаточно создать даже незначительный градиент энергии, находясь в воде (в бассейне или даже в ванне), его наличие приводит к ощутимому движению тела. В связи с этим, уместно напомнить хорошо известный исторический факт. В средние века инквизиция для выявления колдунов использовала так называемое «испытание водой». Подозреваемого связывали крестообразно – большой палец правой руки к большому пальцу левой ноги и наоборот. Затем привязывали его к длинной веревке, свободный конец которой держали в руках, и бросали в воду. Подозрение снималось, если человек начинал тонуть. Но вина его считалась доказанной, если он плавал на поверхности (по свидетельству очевидцев, иногда, «как пробка»). Как мы видим, это и в самом деле очень эффективный способ для выявления тех людей, которые способны управлять распределением энергии в своем теле (порой неосознанно), а значит, действительно обладающих «колдовскими» способностями.

Таким образом, предложенная модель не только указывает на физическую природу гравитации, но и в состоянии объяснить случаи левитации человека, а также теоретически обосновывает возможность практической реализации антигравитационных технических устройств, основанных на возможности создания и управления градиентом энергии в рабочем теле двигателя.

2.5. Основное следствие

Уравнение (12) способно снять многие вопросы, накопившиеся к настоящему времени в науке. Помимо гравитации и сил инерции, решается проблема «расходимостей» в электродинамике, также связанная с моделированием зарядов в виде материальных точек и многие другие. Однако предлагаемая модель и полученное уравнение имеют и гораздо более глубокое содержание.

Дело в том, что выражение (12) является уравнением движения не только для предметных тел, но и для произвольных энергетических структур, в том числе, и не имеющих предметного воплощения, поскольку в его основе лежит одна лишь энергетическая характеристика объекта. Говоря простыми словами, этому уравнению подчиняются призраки и домовые, демоны и ангелы, а также эгрегоры и даже мысли отдельного человека. Подчиняются ему и «тонкие» составляющие предметных тел. Более правильно было бы говорить, что этому уравнению подчиняется произвольно выделенный объем, содержащий в себе энергию любых видов и типов.

Уравнение (12) обобщает второй закон Ньютона (эта связь уже указывалась: F = dp/dt = –∇E, знак минус перед градиентом связан с тем, что в данном случае сила F внешняя). И может служить аналогом второго закона Ньютона для непредметных объектов, обладающих энергетической структурой. Каждый представляет себе, какую роль играет второй закон Ньютона в современной «детской» науке, до сих пор играющей в предметные тела, и даже стыдно признать, в таком солидном возрасте продолжающей забавляться материальными точками. Отсюда можно сделать вывод о важности уравнения (12) в науке «взрослой», способной изучать не игрушечные объекты, собранные из кубиков и шариков нашим недоразвитым восприятием, а реальные нелокальные объекты, как сложные системы взаимодействующих энергетических структур. Теоретических инструментов и методов для такого описания создано уже предостаточно, осталось лишь созреть для разумного их использования.

Сегодня можно лишь в самых общих чертах догадываться о том, какие теоретические и практические направления возможны на основе полученного уравнения. Не будем гадать на этот счет. В заключение кратко остановимся лишь на практической значимости уравнения (12), которая достаточно хорошо ясна уже к настоящему моменту. Заодно мы ответим и на основной вопрос, касающийся предметного мира, а именно, какой физический процесс отвечает за переход тела в запутанное состояние. Этот узловой момент особо важен для создания новых технических устройств, пока еще «магических» в современном представлении, но имеющих шанс потерять свой таинственный статус и стать вполне обыденными предметами повседневной жизни.

• Практика – цель и критерий познания

• Оглавление

Дата публикации:

11 февраля 2003 года