Заманчивая теорема

Математическая беседа Я.И. ПЕРЕЛЬМАНА

Пять лет тому назад пишущий эти строки поместил в журнале «Природа и Люди» небольшую заметку о капитале в сто тысяч марок, завещанном тому, кто докажет так называемое «великое предложение Ферма». С тех пор в редакцию стали чуть не еженедельно поступать «доказательства» этой теоремы. Ни одно из них, к сожалению, не оказалось правильным. Впрочем, математикам всего мира посчастливилось не больше, и сто тысяч марок еще по сей день остались нетронутыми. Так как редакцию часто запрашивали о судьбе этой теоремы, то считаем нелишним познакомить читателей с тем, как обстоит дело в настоящее время.

Прежде всего – напомним, в чем заключается теорема.

Известно, что можно подыскать много пар целых чисел, сумма вторых степеней которых также есть вторая степень какого-нибудь целого числа. Так, 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5²; 30² + 16² = 34², и т.д. Таких чисел можно найти сколько угодно. Но попробуйте подыскивать подобные же примеры для третьей степени. Вы не найдете ни одного! Полная неудача постигнет вас и при подыскании примера для четвертой, пятой и других высших степеней.

В этом и состоит «великое предложение Ферма». Оно гласит, что нельзя найти таких целых чисел x, y и z, которые удовлетворяли бы уравнению xⁿ + yⁿ = zⁿ если только n больше 2.

В справедливости этой теоремы никто не сомневается – но все же доказательства ее мы в настоящее время не знаем. Кто найдет строгое математическое ее доказательство, тот получит сто тысяч марок, завещанных покойным математиком Вольфскелем специально для этой цели. Сумма эта будет выдана и тому, кто докажет, что теорема неверна, т.е. тому, кто, напр., найдет два целых числа, сумма третьих степеней которых есть тоже третья степень (или вообще найдет числа, удовлетворяющие вышеприведенному уравнению).

Любопытнее всего то, что теорема эта уже была раз доказана, но доказательство это бесследно утрачено. Знаменитый математик Пьер Ферма записал на полях одной математической книги эту теорему, но доказательства ее не поместил, так как оно немного длинновато. «Совершенно невозможно – писал Ферма – разложить полный куб на сумму двух кубов, четвертую степень на сумму двух четвертых степеней, вообще какую-либо степень на сумму двух степеней с тем же показателем. Я нашел удивительное доказательство этого предложения, но здесь слишком мало места, чтобы его поместить».

В бумагах Ферма не найдено было этого доказательства, и в чем оно состояло, – мы так и не знаем. Однако, нет причин сомневаться, что такое доказательство было действительно открыто Ферма. Гениального французского математика нельзя заподозрить ни в хвастовстве, ни в опрометчивости. Многие из положений, найденных им, дошли до нас без доказательств, но позднейшие изыскания показали, что положения эти вполне правильны. Лишь одной теоремы не удалось доказать до сих пор – той, о которой у нас идет теперь речь.

Целый ряд гениальных математиков старался доказать эту столь простую на вид теорему – и безуспешно. Удавалось лишь доказать ее для отдельных частных случаев. Так, Эйлер доказал ее для четвертой степени, Гаусс – для пятой, Ламе – для седьмой (для 6-й и вообще для составных степеней нет надобности искать особого доказательства, так как составные степени приводятся к соответствующим простым). Наконец, сравнительно недавно Куммер доказал ее для всех степеней, меньших ста. Однако, общего ее доказательства не найдено, хотя в чаянии щедрой награды поисками его занято теперь не мало людей.

«У нас накопилась, – пишет по этому поводу знаменитый немецкий математик Клейн – чуть не целая гора доказательств. Люди всех профессий – инженеры, народные учителя, священники, банкиры, дамы, и т.д. – являются авторами этих работ. Общее во всех этих работах лишь то, что их авторы не имеют ни малейшего представления о серьезном математическом значении проблемы. Они не делают даже ни малейшей попытки осведомиться в литературе вопроса»...

К сожалению, буквально то же самое приходится повторить и о большинстве русских претендентов на наследие Вольфскеля. Кстати, пользуемся случаем опровергнуть слух, до сих распространенный в обществе, – будто теорема Ферма была доказана одним русским реалистом и будто доказательство это было одобрено нашей Академией Наук. Известие это, действительно, появилось в газетах в сентябре 1908 года и не было официально опровергнуто Академией. Тем не менее, оно совершенно неверно. Редакция нашего журнала немедленно же навела справки в Академии и убедилась, что слух основан на недоразумении. Некий реалист, действительно, послал в Академию Наук свое воображаемое доказательство и даже получил от секретаря Академии любезный, но нисколько не обнадеживающий ответ: «Присланное вами рукописное доказательство теоремы Фермата передано в I Отделение Библиотеки Академии». Дело просто в том, что Академия, как казенное учреждение, не может выбрасывать поступающих в нее рукописей и обязана хранить их в своей библиотеке (эта история подробнее рассказана автором настоящей статьи в математической хрестоматии Е. Игнатьева «В царстве смекалки» (книга II, стр. 90-я: «Сто тысяч за доказательство теоремы»), – куда и отсылаем читателей, интересующихся Ферматовой теоремой). Доказательство юного математика даже не рассматривалось Академией по существу. Но и он, и окружающие его приняли это извещение за одобрение; отсюда и пошел упомянутый слух.

До настоящего времени, из процентов на завещанный капитал, выдана только тысяча марок немцу Вифериху, доказавшему теорему Ферма для одной группы частных случаев.

Очень поучителен случай с проф. Линдеманом, одним из величайших математиков нашего времени. В 1909 году он выпустил брошюру, в которой предлагает два доказательства Ферматовой теоремы. Но, как оказалось, этот выдающийся математик стал жертвой простой описки: в ходе доказательства он в одном месте, вместо показателя 6 написал 5... Во втором доказательстве также замечены были подобного рода описки. А между тем, проф. Линдеман – первоклассный математик, зарекомендовавший себя рядом ценных, прямо классических работ.

Читатели часто запрашивают редакцию, куда следует направлять доказательства. Считаем необходимым дать по этому поводу некоторые разъяснения.

Хотя присуждение премии предоставлено Геттингенскому научному обществу, но направлять туда рукописных доказательств не следует: общество уклоняется от их рассмотрения. Оно рассматривает лишь опубликованные уже доказательства, – т.е. напечатанные в каком-либо журнале или выпущенные в продажу отдельной брошюрой. Авторам предлагается присылать в общество (Gottinger Gesellschaft der Wissenchaften) пять экземпляров соответствующего №-ра журнала или брошюры. Официально объявлен также последний срок присылки – 2007-й год. Времени, значить, достаточно...

Таким постановлением Геттингенское общество освобождает себя от рассмотрения многих сотен и тысяч неверных доказательств, частью перелагая эту неблагодарную работу на редакции математических журналов. Общество выступит со своим заявлением лишь тогда, когда правильное доказательство будет опубликовано. Пока же общество молчит – это означает, что правильное доказательство еще не опубликовано.

Впрочем, присуждение премии должно состояться не ранее, чем спустя два года по опубликовании доказательства. Такой срок дается для того, чтобы математики всего мира успели рассмотреть доказательство и обнаружить ошибку, если таковая была допущена (как в случае с проф. Линдеманом). Зато постановление общества неоспоримо, и выданный капитал ни в каком случае не может быть потребован обратно (даже если бы обнаружена была ошибочность доказательства).

В заключение познакомим читателей с любопытной теоремой, которая, хотя и кажется сложнее Ферматовой, но все же недавно строго доказана математиками. Теорема эта гласит, что нет такого числа (целого и положительного), которое нельзя было бы представить в виде суммы одинаковых степеней целых и положительных чисел. Для второй степени число этих слагаемых ограничено 4-мя: это значит, что нет такого числа, которое нельзя было бы представить в виде суммы 2, 3 или 4 квадратов. Возьмем наудачу число 23. Оно равно 3² + 3² + 2² + 1². Число 54 = 7² + 2² + 1² и т.д. Для квадратов эта теорема доказана была еще Лагранжем и Эйлером, а в общем виде – в прошлом году проф. Гильбертом.

Источник информации:

«Природа и Люди». Иллюстрированный журнал науки, искусства и литературы. 1912, №24.

См. также:

1. Латышев В. Саймон Флэгг и дьявол. НиТ, 1998.
2. Петров В. Великая теорема Ферма. НиТ, 2002.
3. Завальский Л. О необычности путей развития математики. НиТ, 2003.

Дата публикации:

3 мая 1998 года