N-T.ru / Текущие публикации / Наука сегодня |
Волновое уравнение не имеет единственного решения?!Виктор КУЛИГИН, Галина КУЛИГИНА, Мария КОРНЕВА Теорема о нарушении единственности решенияТеорему о существовании и единственности решения задачи Коши можно найти в [1] (стр. 44...46). Логика доказательства приводит к однородному волновому уравнению (77) (см. стр. 45 в [1]), решение которого должно удовлетворять нулевым начальным и граничным условиям (стр. 45 в [1]). Далее идет доказательство, что решение этого уравнения тривиальное и на основании этого делается заключение о единственности решения задачи Коши для волнового уравнения. Оказывается, существует множество решений задачи Коши для волнового уравнения. Мы приведем доказательство для свободного пространства (одномерный случай). Это продиктовано следующими соображениями. Во-первых, доказательство не будет перегружено дополнительными деталями. Во вторых, доказательство этого случая не нарушает общности рассуждений и его нетрудно обобщить на случай наличия граничных условий. В третьих, нас интересуют процессы в свободном пространстве (излучение и распространение волн в электродинамике), к которым это доказательство имеет прямое отношение. ДоказательствоРассмотрим однородное волновое уравнение в безграничном одномерном пространстве с нулевыми начальными условиями.
Начальные условия: v = 0 и ∂v/∂t = 0 при t = 0. Представим теперь функцию v как сумму некоторых двух функций:
Подставим это выражение в (1) и перенесем члены, зависящие от f в правую часть уравнения (1).
Мы можем выбрать и присвоить функции f определенное выражение. Пусть, например, f = (cosπx·sinat)4, когда 1 < x < 1 и 0 < t < π/a; f = 0 если x < 1 или x > 1 и t > π/a или t < 0. Функция ограничена f в пространстве и во времени. В этом случае уравнение (3) превращается в неоднородное волновое уравнение, правая часть которого нам известна. Теперь мы можем сформулировать начальные условия для функции u. Начальные условия:
Решение уравнения (3) с начальными условиями (4) существует (см., например, [1], стр. 75, выражение (24)). Следовательно, мы имеем окончательный результат новое, нетривиальное решение однородного волнового уравнения с нулевыми начальными условиями. Запишем общее ненулевое решение однородного волнового уравнения, удовлетворяющего задаче Коши с нулевыми начальными условиями:
Функция f не должна быть решением волнового уравнения. Мы видим, что второе решение существует и отлично от нуля при t > 0. Таким образом, теорема о нарушении единственности решения задачи Коши для волнового уравнения доказана. Применение результатовПолученное доказательство служит обоснованию метода получения новых решений, описанного в [2], [3] и др. статьях авторов. Оно имеет прямую связь с калибровкой решений в электродинамике [2], [3]. Пусть мы имеем неоднородное волновое уравнение с соответствующими начальными условиями: v = φ(x) и ∂v/∂t = ψ(x) при t = 0. Представим решение этого уравнения в форме (2): v = u + f. Оставим в левой части волнового уравнения только члены, зависящие от u. Как и в предыдущем случае мы могли бы задать явный вид функции f (как говорят: «взяв ее с потолка») и получить решение неоднородного уравнения. Но можно поступить иначе. Мы можем наложить на f некоторое условие. Например, мы можем потребовать, чтобы функция f удовлетворяла уравнению Пуассона: ∂2f / ∂x2 = F(x;t). Если решение этого уравнения существует (функция F(x:t) интегрируема), то уравнение для функции u определено и определены начальные условия задачи Коши: u = φ(x) f(x;0) и ∂u/∂t = ψ(x) ∂f/∂t при t = 0. Такой метод построения второго решения по существу является калибровкой решения. Иными словами, мы ищем решение как сумму выражений, имеющих различную функциональную зависимость от координат и времени (запаздывающие потенциалы, мгновеннодействующие потенциалы, потенциалы, удовлетворяющие уравнению теплопроводности и т.д.) Этот метод описан и используется в работах [2], [3]. Следствия, вытекающие из отсутствия единственности решения для электродинамики весьма существенны. Калибровочная (градиентная) инвариантность не имеет места. В общем случае калибровка Лоренца уравнений Максвелла дает решения, отличающиеся от решений в кулоновской калибровке [2], [3]. Однако существует важный частный случай, когда эти калибровки эквивалентны. Он рассмотрен в [4]. Остается добавить, что для уравнений параболического типа (уравнение теплопроводности, уравнение Шредингера и др.) можно доказать аналогичную теорему. Более того, возможно, что нарушение единственности решения имеет место также для уравнений эллиптического типа (например, для задач Дирихле, Неймана и др.).
Источники информации:
См. также:
|
Дата публикации: 22 августа 2002 года |
|